آموزش ریاضی دهم – فصل اول(مجموعه و دنباله)

بخش دوم دنباله های حسابی و هندسی

خلاصه مبحث دنباله ها :  مبحث دنباله ها توی ریاضی دهم از مبحث مجموعه ها اهمیتش بیشتر و معمولا یک یا دو تست ( دو تست برای ریاضی ها ) توی کنکور به این مبحث اختصاص داده میشه پس جدا از اینکه با خوندن این مبحث خودتون رو برای امتحان نهایی آماده می کنید در واقع نیم نگاهی هم به کنکور دارید.

تو این درسنامه مفاهیم اولیه دنباله مطرح میشه و مخصوصا بحث الگوی خطی ( t_n = a n + b ) که تقریبا شبیه تابع خطی ( y = a x + b ) هستش گفته میشه و مثال هایی از این بخش حل براتون حل میشه .

مثال : در یک الگوی خطی ، جملات چهارم و دهم به ترتیب ۱۷ و ۴۱ می باشند . جمله عمومی این الگو را بیابید.

t_۴ = a × ۴ + b =>  ۱۷ = ۴ a + b  

t_۱۰ = a × ۱۰ + b =>  ۴۱ = ۱۰ a + b

کافیه که دستگاه بالا رو حل کنیم تا مقادیر a , b  رو بدست بیاریم

تو درسنامه دوم مسائل متنوعی رو از دنباله حسابی براتون حل میکنم . فرمول دنباله حسابی بصورت a_n = a_۱ + ( n – ۱ ) d که البته بجای نماد a_n از نماد t_n هم میشه استفاده کرد.

در یک دنباله حسابی با اعداد ۱ , ۴ , ۷ , ۱۱ , …..   جمله ی بیست و یکم کدام است؟

a_۱ = 1        ,        d = 4-1= 3

a_۲۱= a_۱ + ( ۲۱ – ۱ ) d

a_۲۱ = 1 + ۲۰ × ۳ = 61

یکی از سوالات متداول این بخش این هستش که اطلاعات دو تا دنباله رو در اختیار ما قرار میدن و در قالب یک دستگاه معادلات شروع به حل اونها میکنیم.

مثالی از متن درسنامه :  در یک دنباله حسابی جمله ی هفتم برابر ۳۱ و جمله ی دهم برابر ۴۰ می باشد . در این صورت جمله ی بیستم این دنباله را بیابید.

ایده راه حل مساله : اگه یه کوچولو دقت کنین جمله هفتم و جمله دهم به عنوان ورودی داده شده که هرموقع با سوالات اینشکلی برخورد کردیم کافیه اونها رو در قالب یک دستگاه معادلات حل کنیم.

سوالات درج واسطه حسابی به این شکل هستش که دو عدد مختلف در صورت سوال داده میشه و از ما خواسته میشه بین اون دو عدد ، تعدادی جمله ( عدد ) قرار بدیم تا در مجموع کلیه اعداد تشکیل یک دنباله حسابی بدن.

مثالی از متن درسنامه  : بین عدد ۱۸ و ۶۲ سه عدد چنان درج کنید که در مجموع پنج عدد تشکیل دنباله حسابی دهند.

راه حل :

۱۸ , …. , …. , …. , ۶۲

در مثال بالا عدد ۱۸ در واقع اولین عدد دنباله بوده پس حکم a_۱  را ایفا میکند و عدد ۶۲ در واقع پنجمین جمله دنباله بوده و حکم a_۵ را ایفا میکند.

a_۵ = a_۱ + ( ۵ – ۱ ) d

۶۲ = ۱۸ + ۴ * d  =>  d = 11   => a_۲ = 18 + ۱۱ = 29    ,   
a_۳ = 29 + ۱۱ = 40    ,   a_۴ = 40 + ۱۱ = 51

درون این درسنامه دنباله های هندسی تحلیل و بررسی می شود . بصورت خیلی خلاصه اینطوری میشه گفت که اگه دنباله ای از اعداد داشته باشیم و هر جمله در عدد مشخص و ثابتی ضرب بشه در واقع با یک دنباله هندسی روبرو هستیم فرمول دنباله هندسی بصورت زیر هستش.

a_n = a_۱ × q^n-1

توی رابطه بالا q قدر نسبت دنباله هستش یعنی همون عددی که بصورت پیوسته و ثابت درون جملات دنباله ضرب میشه. به مثال زیر توجه کنید.

مثال : اعداد  ۱ , ۲ , ۴ , ۸ , ۱۶ , …. جملات متوالی یک دنباله هندسی هستند در این صورت جمله نهم چند برابر جمله ششم است.

راه حل : مشخص هست که هر جمله دنباله درون عدد ۲ ضرب شده است بنابراین قدرنسبت دنباله همون عدد ۲ هستش خوب حالا با داشتن جمله اول که عددش ۱ هستش میریم سراغ جاگذاری و تقسیم جمله نهم به جمله ششم

a_۹ = 1 * ۲^۹-۱ => a_۹ = 256   

a_۶ = 1 * ۲^۶-۱ => a_۶ = 32

a_۹ / a_۶ = 256 /۳۲  = ۸

از اونجایی که فرم دنباله های هندسی حالت ضربی داره معمولا زمانی که دو جمله مختلف از دنباله های هندسی رو به ما بدن بهترین راه تقسیم جملات بر همدیگه هستش تا درواقع بشه یک معادله تشکیل داد و مجهولات اون رو بدست آورد.

مشابه مفهوم درج واسطه حسابی ، میشه با در درست داشتن دو عدد به مقداری که سوال برای ما مشخص میکنه بین اعداد واسطه هندسی تشکیل داد. تکنیک واسطه هندسی مشابه واسطه حسابی هستش و اونم به این شکله که جمله اول رو در واقع a_۱ در نظر میگیریم و جمله آخر رو هم با توجه به تعداد جمله هایی که سوال ازمون خواسته an در نظر میگیریم و سر آخر با تقسیم جمله a_n  به جمله a_۱ مقدار قدر نسبت q  رو بدست میاریم.