ورود | عضویت

فرمول تمام اتحادهای ریاضی (مثال + تمرین + pdf)

فرمول تمامی اتحادهای ریاضی

تو این آموزش قصد داریم تمامی اتحادهای ریاضی پایه های نهم و دهم رو بصورت کامل کامل بررسی کنیم تا یک دید کلی و جامع روی تمامی اتحادها داشته باشید ، با اتمام این مقاله قادر خواهید بود تمامی اتحادهارو به درستی حل کنید و اگه فرمولی رو فراموش کردین به جدول زیر نگاه کنید که یک یادآوری سریع روی کلیه فرمول های اتحادها داشته باشین…

جدول کامل انواع اتحادها

نام اتحاد فرمول اتحاد
اتحاد مربع دوجمله ای \[{(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\]
اتحاد مربع فرم منفی \[{(a – b)^2} = {a^2} – 2ab + {b^2}\]
اتحاد مزدوج \[(a – b)(a + b) = {a^2} – {b^2}\]
اتحاد جمله مشترک \[(x + a)(x + b) = {x^2} + (a + b)x + ab\]
اتحاد چاق و لاغر \[{a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} – ab + {b^2})\]
اتحاد چاق و لاغر فرم منفی \[{a^3} – {b^3} = (a – b)({a^2} + ab + {b^2})\]
اتحاد مکعب دو جمله ای \[{(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\]
اتحاد مکعب فرم منفی \[{(a – b)^3} = {a^3} – 3{a^2}b + 3a{b^2} – {b^3}\]

حالا به تفکیک هر کدوم از اتحادها رو با مثال بیشتر توضیح میدم

اتحاد مربع دو جمله ای

اتحاد مربع دو جمله ای اولین اتحادی هست که معمولا هر دانش آموزی اون یاد رو یاد میگیره ، این اتحاد رو به این شکل حفظ کنید : اولی به توان 2 ، دو برابر اولی در دومی ، دومی به توان 2 ، فرمول این اتحاد رو با یک مثال در جدول زیر ببینید.

عنوان اختیاری اینجاست

توضیح اتحاد مربع دو جمله ای

حال اتحاد \({(x + 3)^2}\) را بدست آورید.

راه‌حل:
باید از فرمول اتحاد مربع دو جمله ای استفاده کنیم ، همیشه یکی از مراحل مهم همین نحوه تشخیص مدل اتحاد است ، هرگاه دو جمله با هم جمع شوند ( در این سوال منظور از دو جمله همان x و عدد 3 است ) و یکجا با هم به توان 2 برسند یعنی با اتحاد مربع دو جمله ای روبرو هستیم.
پس از تشخیص نوع اتحاد باید فرمول اون اتحاد رو حفظ باشیم که طبق جدول همین صفحه فرمول اتحاد مربع دو جمله ای میشه ….
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\[{(x + 3)^2} = {x^2} + 2(x)(3) + {3^2}\] حالا باید کمی عبارت بالا رو ساده کنیم یعنی \(2(x)(3)\) برابر \(6x\) می شود و \({3^2} = 9\) می شود. پس جواب اتحاد مربع رو تا جایی که بشه ساده می کنیم و به صورت زیر در می آوریم
\[{(x + 3)^2} = {x^2} + 6x + 9\]

اتحاد مربع دو جمله ای ( فرم منفی )

احتمالا همان طور که می دانید اتحاد مربع دو جمله فرم منفی هم دارد که دقیقا مثل همان مثال قبلی است ، فقط به جای 2ab+ باید درون اتحاد 2ab- جاگذاری کنیم. به مثال زیر دقت کنید

مثال از فرم منفی اتحاد مربع دو جمله ای

حال اتحاد \({(x – 3)^2}\) را بدست آورید.

راه‌حل:
باید از فرمول اتحاد مربع دو جمله ای استفاده کنیم ، فقط دقت کنید این سری فرم منفی رو آوردیم یعنی دقیقا همون مثال قبلی هست ولی بجای عدد 3+ عدد 3- رو قرار دادیم ، حالا به راه حل دقت کنید ( تنها تفاوت یک منفی است و باقی مراحل مثل حالت قبل است )
\[{(a – b)^2} = {a^2} – 2ab + {b^2}\]
\[{(x – 3)^2} = {x^2} – 2(x)(3) + {3^2}\] تمامی مراحل مثل مثال قبلی است فقط بجای \( + 2(x)(3)\) حالت منفی رو داریم یعنی داریم \(-2(x)(3)\)
\[{(x – 3)^2} = {x^2} – 6x + 9\] جواب نهایی رو با مثال قبلی خوب مقایسه کنید تا دقیق تر متوجه شوید

حاصل اتحاد \({(x – 2)^2}\) کدام گزینه است؟

هیچ گزینه‌ای تعریف نشده است.

راه حل و توضیحات:
همونطوری که قبلا گفتیم اتحاد مربع رو اینشکلی باید حفظ کنید ، اولی به توان دو که تو این سوال میشه \({x^2}\) ، دو برابر اولی در دومی که تو این سوال میشه \(2(x)(2)\) فقط حواستون باشه که تو این سوال با فرم منفی اتحاد مربع سر و کار داریم یعنی سر آخر منفی رو لحاظ کنید ، و سر آخر که میشه دومی به توان دو \({2^2}\) حالا اگه همه اینهارو با هم لحاظ کنیم به راه حل زیر می رسیم \[{x^2} – 2(x)(2) + {2^2}\] \[{(x – 2)^2} = {x^2} – 4x + 4\]

اتحاد مزدوج

فرم کلی اتحاد مزدوج به صورتa2 – b2 = (a – b)(a + b) است دقت کنید که منفی بین دو عبارت همیشه ثابت است. این اتحاد رو به این شکل حفظ کنید ، اولی به توان 2 منهای دومی به توان 2 . برای درک بهتر به یک مثال از این قسمت توجه کنید

حل یک مثال از اتحاد مزدوج

حاصل اتحادهای زیر را بدست آورید \[\begin{array}{l} (a – 5)(a + 5) = ?\\ (a – 1)(a + 1) = ?\\ (a – \sqrt 3 )(a + \sqrt 3 ) = ? \end{array}\]

راه‌حل:
همانطور که قبلا گفتیم کافی است عبارت اول رو به توان دو برسانید یک منفی ( منها ) قرار دهید و سپس عبارت دوم رو هم به توان دو برسانید.
\[(a – 5)(a + 5) = {a^2} – {5^2} = {a^2} – 25\]
\[(a – 1)(a + 1) = {a^2} – {1^2} = {a^2} – 1\]
\[\begin{array}{l} (a – \sqrt 3 )(a + \sqrt 3 ) = {a^2} – {\sqrt 3 ^2}\\ \\ \to {a^2} – \sqrt 9 = {a^2} – 3 \end{array}\]

اتحاد جمله مشترک

اتحاد جمله مشترک جزو چالشی ترین اتحادها از نظر یادگیری برای دانش آموزان نهمی هست چون همزمان با عملیات ضرب و جمع درگیر هستیم ، ضمن اینکه باید حواسمون به منفی و مثبت بودن اعداد هم باشه ، قبل از هر چیزی جدول زیر رو نگاه سعی کردم تو این قسمت به زبان خیلی ساده توضیح بدم تا بتونین روی این مدل اتحاد مسلط بشین.

اتحاد جمله مشترک
فرم اصلی \[(x + a)(x + b) = {x^2} + (a + b)x + ab\]
فرم خودمونی \[(x + a)(x + b) = {x^2} + (جمع 2 عدد)x + ضرب 2 عدد\]

اگه به جدول بالا دقت کنید احتمالا بتونین بهتر متوجه بشین که منظور از a+b جمع دو عدد هست و منظور از ab قاعدتا ضرب دو عدد هست. بهتر وقت رو تلف نکنیم یک مثال رو با هم تحلیل کنیم.

مثال از اتحاد جمله مشترک

حاصل اتحادهای زیر را بدست آورید. \[(x + 2)(x + 6) = ?\]

راه‌حل:
هر کدوم رو جداگانه حل می کنیم تا با هم قاطی نشوند پس بریم سراغ راه حل اتحاد اولمون یعنی \((x + 2)(x + 6)\)
برای حل اتحاد جمله مشترک همیشه در نظر داشته باشید که دو بخش مهم داریم یکی حاصل جمع اعداد ، دیگری حاصل ضرب اعداد ( ضمنا به منفی و مثبت بودن اعداد هم دقت کنید تا جمع و ضرب رو به درستی انجام بدین )
\[\begin{array}{l} (x + 2)(x + 6) = {x^2} + (2 + 6)x + (2)(6)\\ \to {x^2} + 8x + 12 \end{array}\]

اتحاد چاق و لاغر

اتحاد چاق و لاغر از دو بخش تشکیل شده ، بخش اول دو عبارت داره که معروف به لاغر هست و بخش دیگه سه عبارت داره ، خب حالا چطوری این اتحاد ساخته میشه با هم بررسی می کنیم. فرمول اتحاد چاق و لاغر به صورت a+b3=(a+b)(a2-ab+b2) هست. خب حالا نکته اش چیه و چطور میشه این اتحاد رو ساخت

مرحله اول از قسمت a3+b3 کافی هست که توان های 3 رو حذف کنیم در این صورت بخش اول اتحاد یعنی قسمت لاغر اتحاد ساخته میشه ، بعد از اون از همین بخش استفاده می کنیم و قسمت چاق اتحاد رو میسازیم خب الان بصورت مثال اگه توان های 3 رو حذف کنیم a+b برای ما باقی می مونه .

در مرحله بعدی قسمت چاق اتحاد رو از روی قسمت لاغر اتحاد می سازیم که میشه…..

اولی به توان 2 ، حاصل ضرب اولی در دومی با علامت مخالف ، دومی به توان دو

خب حالا این چیزایی که گفتیم یعنی چی ؟ به مثال زیر دقت کنید

اتحاد چاق و لاغر

اتحاد \({a^3} + 8\) را تجزیه کنید.

راه‌حل:
قبل از هر چیزی باید اتحاد رو به فرم استاندارد در بیاریم یعنی باید دو تا توان 3 داشته باشیم ، اگه فقط کمی دقت کنید عدد \(8 = 2 \times 2 \times 2\) هست یعنی عدد \(8 = {2^3}\) هست پس با این حساب می شود اتحاد رو به شکل صحیح بازنویسی کرد یعنی خواهیم داشت… \[{a^3} + 8\, = \,{a^3} + \,{2^3}\]
خب حالا همونطوری که گفتیم تو مرحله اول برای حل اتحاد باید توان های 3 رو حذف کنیم که برای ما از عبارت \(\,{a^3} + \,{2^3}\) بدون در نظر گرفتن توان های اون عدد \((a + 2)\) باقی می مونه تا اینجای کار تونستیم بخش لاغر اتحاد رو بسازیم ، اما بریم سراغ بخش دوم اتحاد که از روی همین بخش لاغر ساخته میشه ، فرم بخش دوم تو فرمول اتحاد چاق و لاغر به صورت \(({a^2} – ab + {b^2})\) است که با این حساب باید عبارتی مشابه \(({a^2} – a \times 2 + {2^2})\) رو بنویسیم و ساده کنیم که به عبارت \(({a^2} – 2a + 4)\) میرسیم. یکدور همه این توضیحات رو در قسمت زیر مجدد ببینید تا با مراحل کار بیشتر آشنا شوید.
\[\begin{array}{l} {a^3} + 8\, = \,{a^3} + \,{2^3}\\ \\ \,{a^3} + \,{2^3} = \,(a + 2)({a^2} – a \times 2 + {2^2})\\ \\ \,{a^3} + \,{2^3} = \,(a + 2)({a^2} – 2a + 4) \end{array}\]

اتحاد مکعب دو جمله ای

این اتحاد جزو پر چالش ترین اتحادهاست از جهت حفظ کردن به این علت که هم توان 3 هم توان 3 رو با خودش دخیل میکنه یعنی هم عبارت هایی مثل a3 , a2b , ab2 ,b3 رو داخلی میبینیم و باید هنگام پیاده سازی توان ها و ضرایب رو به درستی اجرا کنیم. این قسمت رو با یک مثال سعی میکنم توضیح بدم

اتحاد مکعب دو جمله ای

\[{(a + 4)^3} = ?\]

راه‌حل:
\[\begin{array}{l} {(a + 4)^3} = {a^3} + 3 \times {a^2} \times 4\, + \,3 \times a \times {4^2} + {4^3}\\ {(a + 4)^3} = {a^3} + 12{a^2}\, + \,3 \times a \times 16 + 64\\ {(a + 4)^3} = {a^3} + 12{a^2}\, + \,48a + 64 \end{array}\]

پرسش های متداول در مورد اتحادها

اتحاد در ریاضی یک رابطه همیشه درست است که به چندین بخش و زیر بخش تقسیم می شود ، از اتحادها در ریضای برای ساده سازی روابط و فرمول‌های ریاضی بسیار استفاده می شود. این مبحث به شدت پر کاربرد است و معمولا بصورت ترکیبی با قوانین توان و رادیکال یک تست مستقیم در آزمون کنکور سراسری دارد.

بهترین روش حفظ کردن اتحادها حل مثال‌های متنوع از اتحادهاست ، به جای حفظ کردن فرمول اتحادها به صورت خشک و بی روح بهتره فرم فارسی هر اتحاد رو حفظ کنید ، مثلا در اتحاد مربع بگویید (” اولی به توان 2 ، دومی به توان 2 ، دو برابر اولی در دومی “)

تقریبا همه اتحادها به صورت یکسان مهم هستند ولی معمولا بیشترین سوالات از اتحاد جمله مشترک مطرح می شو و بیشترین سوالات از این بخش مطرح میشه تا جایی که حتی گاهی در تست های شیمی و فیزیک هم سر و کله این اتحاد پیدا میشه!

تشخیص نام هر اتحاد به درک بهتر اون کمک میکنه در زیر لیست اتحادها رو به ترتیب هر پایه براتون میارم.

اتحادهای پایه نهم

  • اتحاد مربع دو جمله ای
  • اتحاد مزدوج
  • اتحاد جمله مشترک

اتحادهای پایه دهم

  • اتحاد چاق و لاغر
  • اتحاد مکعب دو جمله‌ای

  • \({(a \pm b)^2} = {a^2} \pm 2ab + {b^2}\)
  • \((a – b)(a + b) = {a^2} – {b^2}\)
  • \((x + a)(x + b) = {x^2} + (a + b)x + ab\)
  • \((a \pm b)({a^2} \mp ab + {b^2}) = {a^3} \pm {b^3}\)
  • \({(a \pm b)^3} = {a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3}\)

توضیحات بیشتر رو درون همین مقاله مطالعه کنید.

به این مطلب امتیاز بدهید

★ ★ ★ ★ ★
در حال بارگذاری...
رضا منصف ۲۴ مرداد ۱۴۰۴

خوب بود ممنون از سایت خوبتون سایر اتحادها رو هم لطفا بزارین

درباره ما

وب‌سایت لپ‌کلام با هدف آموزش مفهومی فیزیک و ریاضی طراحی شده است تا سخت‌ترین مطالب را به ساده‌ترین روش به شما آموزش دهد و از یادگیری لذت ببرید.

لینک‌های مهم

شبکه‌های اجتماعی