حل معادله درجه 4 با تغییر متغیر(تبدیل به معادله درجه 2)

اگر یک معادله درجه 4 بصورت ax⁴ + bx² + c = 0 به ما بدهند که حل کنیم احتمالا در نگاه اول شوکه میشویم، که چگونه می توانیم این معادله درجه 4 را حل کنیم، در حالی که ما تا به حال فقط معادله درجه 2 را خوانده ایم. قطعا این جمله را می گوییم که ما معادله درجه 3 را بطور کامل نمی شناسیم بعد چگونه از ما معادله درجه 4 سئوال شده است !

اگر کمی با دقت به معادله نگاه کنیم، می بینیم این معادله درجه 4 به این فرم شبیه معادله درجه 2 است با این تفاوت که بجای x²  داریم x⁴ و به جای x داریم x² پس با کمی تغییر می توانیم آن را به معادله درجه 2 تبدیل کنیم. اما این کار را چگونه انجام دهیم؟ کافی است x² = t بگیریم آنگاه بدیهی است که t² = x⁴ و معادله بصورت at² + bt + c = 0 در می آید. چه خوب حالا ما یک معادله درجه دوم داریم که حل آن را می دانیم.

فقط اینکه چون از تغییر متغیر x² = t استفاده کرده ایم و t ای که به دست می آوریم از یک معادله درجه دوم است که می تواند منفی باشد یا می تواند مثبت باشد ولی ما فقط t مثبت را می پذیریم چون از تساوی x² = t واضح است وقتی یک طرف تساوی x² باشد نمی توان انتظار داشت t منفی باشد پس t فقط و فقط باید مثبت باشد تا آن را بپذیریم.

مثال؛ هر یک از معادلات زیر را حل کنید

  x⁴ – 2x² – 3 = 0 (الف                                          x⁴ – 4x² + 4 = 0 (ب    

      

حل معادله الف) :

معادله اول به فرم ax⁴ + bx² + c = 0 است پس از تغییر متغیر t = x² استفاده کرده و آن را را به معادله درجه دوم t² – 2t – 3 = 0 تبدیل می کنیم. برای بدست آوردن ریشه های این معادله می توانمی به جای استفاده از روش دلتا ، آن را به یک اتحاد تبدیل کنیم.

$$t^2-2t-3\to \left(t-3\right)\left(t+1\right)=0\to \left\{\begin{array}{c}t=3\to x^2=\pm \sqrt{3}\\ t=-1\to \end{array}\right.$$

پس معادله دارای 2 ریشه می باشد.

حل معادله ب) :

معادله به فرم ax⁴ + bx² + c = 0 است پس از تغییر متغیر t = x² داریم که t² – 4t – 4 = 0

با استفاده از اتحاد مربع دو جمله ای داریم که ؛

$${\left(t-2\right)}^2=0\to t=2\Rightarrow x^2=2\to x=\pm \sqrt{2}$$

پس معادله x⁴ – 4x² + 4 = 0 دارای دو ریشه است.

بحث در مورد ریشه های معادله 4

وقتی معادله ax⁴ + bx² + c = 0 را با تغییر متغیر به صورت at² + bt + c = 0 می نویسیم. آنگاه به رابطه x² = t ریشه های معادله درجه 4 به مقدار t که ریشه معادله درجه 2 است بستگی دارد پس حالات زیر را داریم؛

اگر در معادله درجه 2 دلتا (Δ) را محاسبه کنیم و Δ>0 باشد پس 2 ریشه داریم.

این دو ریشه که با t₁ و t₂ نشان می دهیم دارای حالت زیر هستند؛

حالت 1 – ریشه های t₁ و t₂ مثبت باشند ، در اینصورت خواهیم داشت:
t₁ > 0  و t₂ > 0  پس S > 0  و P > 0 چون به ازای هر t مثبت، 2 ریشه برای معادله درجه چهار داریم پس در مجموع 4 ریشه برای معادله درجه 4 داریم.

حالت 2 – هر دو ریشه منفی باشند.
t₂ < 0  و t₁ < 0  پس S < 0  و P > 0 چون به ازای t های مثبت می توانیم برای معادله درجه 4 ریشه داشته باشیم پس به ازای t های منفی معادله درجه 4 هیچ ریشه ای ندارد.

حالت 3 – یک ریشه مثبت و ریشه دیگری منفی باشد یعنی :

t₂ < 0  و t₁ > 0 در صورتی که یک ریشه مثبت و ریشه دیگر منفی باشد دو حالت مختلف پیش می‌آید. حالت اول در صورتی است که ریشه منفی بزرگتر باشد یعنی…..

 -t₂ > t₁ اگر این حالت را در نظر بگیریم S < 0  و P < 0 اما چون یک ریشه مثبت t₁ داریم پس معادله درجه چهار دارای 2 ریشه است.

حالت 4 – ریشه مثبت بزرگتر و ریشه منفی کوچتر باشد
t₂ > 0  و t₁ < 0 مجموع دو ریشه یا S در صورتی مثبت است که t₂ > t₁ که در این حالت S > 0  و P < 0 و چون یک ریشه مثبت داریم از رابطه x² = t برای معادله درجه چهار 2 ریشه بدست می آید.

حالت 5 – t₂ > 0  و t₁ = 0 در این صورت S > 0  و P = 0 و به ازای t₂ > 0 از معادله x² = t₂ ، دو ریشه برای معادله درجه 4 بدست می آید و به ازای t = 0 برای معادله درجه 4 یک ریشه با توجه به x² = t₁ بدست می آید. پس در کل 3 ریشه داریم.

حالت 6 – t₂ < 0  و t₁ = 0 در این صورت S < 0  و P = 0 و به ازای t₂ که منفی است با توجه به x² = t₂ چون x² همیشه مثبت است پس جوابی برای معادله درجه 4 نداریم. ولی به ازای t₁=0 از رابطه x² = t₁ یک ریشه داریم. پس در کل 1 ریشه برای معادله درجه 4 داریم.

حالت 7 – ریشه‌ها قرینه هم باشند.
t₁=-t₂ بازهم یک ریشه مثبت و یک ریشه منفی. پس S=0 و P < 0  و به ازای ریشه مثبت از رابطه x² = t نتیجه می گیریم که ریشه ها قرینه یکدیگر هستند. پس معادله درجه 4 ما 2 ریشه دارد ولی به ازای t منفی معادله درجه 4 هیچ ریشه ای ندارد.

حالت 8 – که دراین حالت Δ < 0 ما می دانیم که معادله درجه 2 هیچ ریشه ای ندارد پس هیچ t ای نداریم در نتیجه از معادله x² = t هیچ x ای بدست نمی آید پس معادله درجه 4 هم منطقا هیچ ریشه ای نخواهد داشت.

حالت ویژه Δ = 0

t > 0 ← ما یک ریشه مثبت داریم پس از رابطه x²=t ریشه برای معادله درجه 4 دو ریشه خواهیم داشت.

t < 0 ← یک ریشه منفی داریم که مضاعف است. پس از x² = t  هیچ ریشه ای برای معادله درجه 4 نداریم.

t = 0 ← ما یک ریشه داریم که از x² = t یک ریشه برای x بدست می آید که برابر صفر است. پس 1 ریشه برای معادله درجه 4 داریم.

نکته : معادله ax⁴+bx²+c=0 در دو حالت زیر یک ریشه مثبت و یک ریشه منفی دارد:

1- در معادله at² + bt + c =0 ،  باشد.

2- در معادله at² + bt + c =0 ، Δ = 0 و t > 0 باشد.

مثال: در معادله x⁴ – 2x² – 2 = 0 نشان دهید علامت ریشه ها چگونه است.

این معادله را اگر با تغییر متغیر به صورت t² – 2t – 3 = 0 بنویسیم داریم که؛

$$\begin{array}{l}{t}^2-2t-3=0\to (t+1)(t-3)=0\to \left\{\begin{array}{c}t+1=0\\ t-3=0\end{array}\right.\\ \to \left\{\begin{array}{c}t=-1\\ t=3\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}^2=-1\to x\in \varnothing \\ x^2=3\to x=\pm \sqrt{3}\end{array}\right.\right.\end{array}$$

این یعنی مجموع ضرایب آن منفی شده و این نشان میدهد که علامت ریشه ها مخالف هم هستند. پس یکی مثبت و یکی منفی است. به ازای ریشه مثبت اگر تساوی x² = t را تشکیل دهیم به این نتیجه میرسیم که معادله درجه 4 دارای یک ریشه مثبت و یک ریشه منفی است.