🔥 قاعده هوپیتال برای رفع ابهام حد توابع

قاعده هوپیتال چیست و چگونه استفاده می شود؟

قبل از اینکه قاعده هوپیتال رو معرفی کنیم باید با مفهوم حد و پیوستگی آشنا باشید که در کتاب ریاضی یازدهم تجربی و حسابان یازدهم این فصل تدریس شده است. بصورت خلاصه باید بدانید به حد توابعی که پس از جایگزاری به حالت ۰/۰ می رسند ، توابع مبهم گفته می شود. برای رفع ابهام حد توابع مبهم روش های مختلفی میشه پیشنهاد داد که یکی از این روش ها روش هوپیتال است. برای درک بهتر مبهم بودن به مثال زیر دقت کنید.

$$\underset{x\to \mathrm{۲}}{\lim }\frac{x^{\mathrm{۳}}-\mathrm{۲}x-\mathrm{۴}}{x^{\mathrm{۲}}-\mathrm{۴}}=\frac{\mathrm{۰}}{\mathrm{۰}}$$

اگه بخواهیم حد تابع بالا رو محاسبه کنیم بعد از جاگزاری عدد ۲ به حالت صفر بر روی صفر می رسیم که به این حالت مبهم گفته میشه ، برای رفع ابهام حد توابعی که مبهم شده اند ، راه حل های مختلفی میشه پیشنهاد کرد ، این روش ها عبارت اند از 

⭐ کمک گرفتن از تجزیه اتحادها 
⭐ روش مزدوج برای رادیکال ها
⭐ فاکتورگیری
⭐ قاعده هوپیتال
 از میان روش های بالا ساده ترین روش برای رفع ابهام کسر بالا روش هوپیتال است .

روش هوپیتال چیست؟

قاعده هوپیتال همونطوری که گفته شد برای رفع ابهام کسرهای مبهم استفاده می شود. در این روش برای رفع ابهام کافی است که از صورت و مخرج کسرها بصورت جداگانه مشتق بگیریم و بعد از اون مقدار حد رو جایگزاری کنیم که تو خیلی از سوالات با همین یک مرحله سوال براحتی حل میشه . (در برخی از سوالات کمی باید بیشتر تلاش کنیم و شاید نیاز بشه که دو یا چند تکنیک استفاده کنیم یعنی به صورت همزمان هم هوپیتال بگیریم و هم از هم ارزی ها استفاده کنیم )

خب بریم مثال قبلی رو با روش هوپیتال حل کنیم… برای مثال اگه حدی که در پاراگراف قبلی هست رو بخواهیم رفع ابهام کنیم کافیه که از صورت و مخرج کسر مشتق بگیریم. برای اینکه بتونید از قاعده هوپیتال بدرستی استفاده کنید باید تا اندازه ای با قوانین مشتق گیری آشنا باشید. در سوال بالا مشتق صورت کسر 3x^۲-۲ و مشتق مخرج 2x میشه که در این صورت حد تابع بالا به صورت زیر در میاد.

$$\underset{x\to \mathrm{۲}}{\lim }\frac{x^{\mathrm{۳}}-\mathrm{۲}x-\mathrm{۴}}{x^{\mathrm{۲}}-\mathrm{۴}}=\frac{\mathrm{۰}}{\mathrm{۰}}\stackrel{hop}{\to }\underset{x\to \mathrm{۲}}{\lim }\frac{\mathrm{۳}{x}^{\mathrm{۲}}-\mathrm{۲}}{\mathrm{۲}x}=\frac{\mathrm{۱۰}}{\mathrm{۴}}=\mathrm{۲.۵}$$

پس به صورت خلاصه روش هوپیتال یعنی مشتق صورت تقسیم بر مشتق مخرج

با توجه به اینکه در روش هوپیتال باید از صورت و مخرج کسر مشتق گرفت نیاز هست که دانش آموزان به عنوان پیشنیاز این مبحث ابتدا به درستی بتوانند از توابع مختلف مشتق بگیرند.

مثال ۲ : حاصل حد زیر رو به روش هوپتال حل کنید.

$$\underset{x\to \mathrm{۱}}{\lim }\frac{x^{\mathrm{۲}}-\mathrm{۶}x+\mathrm{۵}}{x^{\mathrm{۲}}-\mathrm{۱}}=?$$

برای حل سوال بالا ابتدا باید دقت کنیم که با جاگذاری عدد ۱ حد تابع بالا به حالت مبهم در میاد ، برای رفع ابهام حد بالا هم میشه از اتحادها کمک گرفت و هم میشه از قاعده هوپیتال استفاده کرد که اگه بخواهیم از روش هوپیتال استفاده کنیم باید از صورت و مخرج کسر بصورت جداگانه مشتق بگیریم.

$$\underset{x\to \mathrm{۱}}{\lim }\frac{x^{\mathrm{۲}}-\mathrm{۶}x+\mathrm{۵}}{x^{\mathrm{۲}}-\mathrm{۱}}=\frac{\mathrm{۰}}{\mathrm{۰}}\stackrel{hop}{\to }\frac{\mathrm{۲}x-\mathrm{۶}}{\mathrm{۲}x}=\frac{\mathrm{۲}(\mathrm{۱})-\mathrm{۶}}{\mathrm{۲}(\mathrm{۱})}=-\mathrm{۲}$$

فیلم آموزش قاعده هوپیتال

برای درک بهتر روش هوپیتال فیلم آموزشی زیر رو حتما ببینید….

توجه : دانشجویان رشته های مهندسی برای کسب اطلاعات بیشتر می توانند به سایت ویکی پدیا مراجعه کنند تا نکات بیشتری رو در این زمینه یاد بگیرند…