یکی از نکاتی که در فصل اول فیزیک دوازدهم مبحث حرکت شناسی مطرح شده است ، فرمول سرعت متوسط و سرعت لحظه ای است ، اگه بخواهیم خیلی ساده و خلاصه فرق این دو مفهوم رو بیان کنیم باید توجه کنید که
سرعت متوسط ، میانگین سرعت در کل مسیر هست و سرعت لحظه ای سرعت متحرک در هر نقطه ای از یک مسیر است که در حرکت شتاب ثابت این سرعت به صورت لحظه ای تغییر کرده و با لحظات قبل از خودش متفاوت است…

برای درک بهتر باید اینطور بگوییم که سرعت متوسط فقط و فقط به فاصله میان ابتدا و انتهای مسیر بستگی دارد ولی سرعت لحظه‌ای در هر لحظه از مسیر حرکت می‌تواند تغییر کند. بصورت مثال فرض کنید یک خودرو در طی حرکت خود فاصله بین دو نقطه به اندازه 400 متر را در عرض 10 ثانیه طی کند ، در این صورت سرعت متوسط این خودرو از تقسیم جابجایی بر زمان بدست می‌آید که برابر 40 متر بر ثانیه خواهد بود ولی نکته مهم اینجاست که سرعت در طی مسیر می‌تواند کم یا زیاد شده باشد مثلا سرعت 38 متر بر ثانیه یا 42 متر بر ثانیه بوده باشد … به این نوع از سرعت که به صورت لحظه‌ای تغییر می‌کند سرعت لحظه‌ای گفته می‌شود. در ادامه این آموزش با سایت لپ کلام همراه باشید.

تعریف سرعت لحظه ای با کمک مفهوم مشتق

طبق تعریف سرعت لحظه ای همان سرعت متوسط هست اما در یک بازه بسیار کوتاه ، فرمول سرعت متوسط به صورت V_av = Δx / Δt تعریف می شود که اگه در این فرمول زمان Δt خیلی کوچک شود و تقریبا به صفر برسد ، فرمول سرعت متوسط به سرعت لحظه ای تبدیل می شود. از نظر حدی می تواین گفت سرعت لحظه ای همان سرعت متوسط است در حالی که Δt به سمت صفر میل کند.

$$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\lim \frac{\Delta x}{\Delta t}\\ \Delta t\to 0\end{array}& \mathrm{فرمول\; سرعت\; لحظه‌ای}\end{array}$$

معنی عبارت بالا این هست که باید برای محاسبه سرعت لحظه ای ، از معادله مکان زمان مشتق بگیریم تا به معادله سرعت زمان و سرعت لحظه ای برسیم.

تعریف سرعت لحظه ای در نمودار مکان‌ – زمان

• شیب خطی که دو نقطه را در نمودار مکان – زمان به هم وصل می کند همان سرعت متوسط است
• شیب خط مماس در نمودار مکان – زمان همان سرعت لحظه ای است

برای آنکه درک بهتری از سرعت لحظه ای و شتاب لحظه ای پیدا کنید کافی است که درسنامه تصویری زیر را مشاهده کنید.

حل یک مثال از سرعت لحظه ای

دقت کنید که در کتاب ریاضی دوازدهم مفهوم سرعت متوسط و سرعت لحظه‌ای با کمک مشتق به صورت کامل توضیح داده شده است. بنابراین انتظار می‌رود که دانش آموزان برای کنکور با این مفاهیم آشنا باشند.

مثال : اگر معادله مکان زمان یک قطار به صورت زیر باشد.
الف ) سرعت متوسط در بازه‌ی زمانی 0 تا 3 ثانیه را بدست آورید.
ب) سرعت لحظه ای این قطار در لحظه‌ی t=5s چقدر خواهد بود؟

$$x=3t^2-6t+4$$

پاسخ الف بسیار ساده است کافی هست که جابجایی کل مسیر رو تقسیم بر زمان کل کنیم. برای بدست آوردن جابجایی باید زمان داده شده رو داخل فرمول سوال قرار بدیم.

$$\begin{array}{l}x=3t^2-6t+4\to v=6t-6\hfill \\ \to v\text{=6}\times \text{5-6=30-6=24}\Rightarrow v\text{=24 }\frac{m}{s}\hfill \end{array}$$

پاسخ قسمت ب ) برای بدست آوردن سرعت لحظه ای کافی هست که از معادله مکان زمان مشتق بگیرین تا به معادله سرعت زمان برسیم و سپس لحظه‌ی t=5s رو درون معادله بدست آمده جاگذاری کنیم.

$$\begin{array}{l}x=3t^2-6t+4\to \text{v}=6t-6\\ \to \text{v=6}\times \text{5-6=30-6=24}\Rightarrow \text{v=24 }\frac{m}{s}\end{array}$$

ویدئوی این بخش بزودی بروز رسانی خواهد شد