دامنه توابع رادیکالی

یکی از مباحث مهم در ریاضی مبحث تابع هست ، هر تابعی که در ریاضی تعریف می شود دارای دامنه و برد است. در این میان یکی از توابع بسیار مهم ، تابع رادیکالی است که در این پست آموزشی می خواهیم دامنه تابع رادیکالی رو با هم بررسی کنیم.

تابع رادیکالی چیست؟

توابع رادیکالی برعکس توان عمل می کنند و در حقیقت ریشه اعداد را به ما می دهند بصورت مثال 5 به توان دو برابر 25 می شود و رادیکال 25 برابر 5 می شود. برای درک بهتر به جدول زیر دقت کنید.

\begin{matrix} 5^{3} = 125 \\ \sqrt[3]{125} = 5 \end{matrix}

\begin{matrix} 5^{2} = 25 \\ \sqrt{25} = 5 \end{matrix}

فرجه رادیکال چیست؟

در مثال های بالا یک بار عدد 5 را به توان دو رساندیم و یکبار به توان 3 رساندیم ، به عملیات برعکس این حالت ریشه گیری گفته می شود که اگر بخواهیم برعکس توان 2 یک عدد رو بدست بیاوریم در حقیقت باید رادیکال با فرجه 2 رو بدست بیاوریم و اگر بخواهیم برعکس عملیات به توان 3 رسیدن اعداد رو تشخیص بدهیم باید رادیکال با فرجه 3 بگیریم ( برای درک بهتر به فرمول های زیر دقت کنید.

\begin{matrix} \sqrt[2]{…} & رادیکال با فرجه 2 \\ \sqrt[3]{…} & رادیکال با فرجه 3 \end{matrix}

دامنه توابع رادیکالی چگونه محاسبه می شود؟

همانطور که گفته شد توابع رادیکالی می توانند فرجه های مختلفی داشته باشند ، برای محاسبه دامنه توابع رادیکالی در حالت کلی باید به فرجه های رادیکال دقت کرد

اگر فرجه رادیکال زوج باشد در این صورت عبارت زیر رادیکال حتما باید بزرگتر مساوی صفر باشد.

اگر فرجه رادیکال فرد باشد در این صورت محدودیتی برای عبارت زیر رادیکال وجود ندارد.

\begin{matrix} \sqrt[فرجه زوج]{f (x)} & عبارت زیر رادیکال حتما باید مثبت باشد \\ \sqrt[فرجه فرد]{f (x)} & محدودیتی برای عبارت زیر رادیکال وجود ندارد \end{matrix}

دامنه توابع رادیکالی با فرجه زوج

همانطوری که گفته شد اگر فرجه رادیکال زوج باشد عبارت زیر رادیکال حتما باید بزرگتر مساوی صفر باشد برای درک بهتر به مثال زیر دقت کنید.

مثال دامنه تابع رادیکالی زیر را بدست بیاورید.

\begin{array}{l} f (x) = \sqrt{\frac{x}{2} - 3} \\ \Rightarrow \frac{x}{2} - 3 \geq 0 \to \frac{x}{2} \geq 3 \to x \geq 6 \\ \overset{در نتیجه}{\to} D_{f} = [6, + \infty) \end{array}

دامنه توابع رادیکالی با فرجه فرد

همانطوری که قبلا گفته شد تابع رادیکالی با فرجه فرد هیچ محدودیتی برای عبارت زیر خودش اینجاد نمی کند. بنابراین در این حالت اگر عبارت زیر رادیکال با فرجه فرد یک چند جمله ای باشد دامنه تابع برابر مجموعه اعداد حقیقی یعنی R خواهد شد.

مثال : دامنه تابع رادیکالی زیر را بدست آورید.

\begin{array}{l} f (x) = \sqrt[3]{x^{2} - 4} \\ \to هیچ محدودیتی برای فرجه فرد وجود ندارد \\ \to D_{f} = ℝ = (- \infty, + \infty) \end{array}