اگر یک معادله درجه 4 بصورت ax4 + bx2 + c = 0 به ما بدهند که حل کنیم احتمالا در نگاه اول شوکه میشویم، که چگونه می توانیم این معادله درجه 4 را حل کنیم، در حالی که ما تا به حال فقط معادله درجه 2 را خوانده ایم. قطعا این جمله را می گوییم که ما معادله درجه 3 را بطور کامل نمی شناسیم بعد چگونه از ما معادله درجه 4 سئوال شده است !
اگر کمی با دقت به معادله نگاه کنیم، می بینیم این معادله درجه 4 به این فرم شبیه معادله درجه 2 است با این تفاوت که بجای x2 داریم x4 و به جای x داریم x2 پس با کمی تغییر می توانیم آن را به معادله درجه 2 تبدیل کنیم. اما این کار را چگونه انجام دهیم؟ کافی است x2 = t بگیریم آنگاه بدیهی است که t2 = x4 و معادله بصورت at2 + bt + c = 0 در می آید. چه خوب حالا ما یک معادله درجه دوم داریم که حل آن را می دانیم.
فقط اینکه چون از تغییر متغیر x2 = t استفاده کرده ایم و t ای که به دست می آوریم از یک معادله درجه دوم است که می تواند منفی باشد یا می تواند مثبت باشد ولی ما فقط t مثبت را می پذیریم چون از تساوی x2 = t واضح است وقتی یک طرف تساوی x2 باشد نمی توان انتظار داشت t منفی باشد پس t فقط و فقط باید مثبت باشد تا آن را بپذیریم.
مثال؛ هر یک از معادلات زیر را حل کنید
x4 – 2x2 – 3 = 0 (الف x4 – 4x2 + 4 = 0 (ب
حل معادله الف) :
معادله اول به فرم ax4 + bx2 + c = 0 است پس از تغییر متغیر t = x2 استفاده کرده و آن را را به معادله درجه دوم t2 – 2t – 3 = 0 تبدیل می کنیم. برای بدست آوردن ریشه های این معادله می توانمی به جای استفاده از روش دلتا ، آن را به یک اتحاد تبدیل کنیم.
پس معادله دارای 2 ریشه می باشد.
حل معادله ب) :
معادله به فرم ax4 + bx2 + c = 0 است پس از تغییر متغیر t = x2 داریم که t2 – 4t – 4 = 0
با استفاده از اتحاد مربع دو جمله ای داریم که ؛
پس معادله x4 – 4x2 + 4 = 0 دارای دو ریشه است.
بحث در مورد ریشه های معادله 4
وقتی معادله ax4 + bx2 + c = 0 را با تغییر متغیر به صورت at2 + bt + c = 0 می نویسیم. آنگاه به رابطه x2 = t ریشه های معادله درجه 4 به مقدار t که ریشه معادله درجه 2 است بستگی دارد پس حالات زیر را داریم؛
اگر در معادله درجه 2 دلتا (Δ) را محاسبه کنیم و Δ>0 باشد پس 2 ریشه داریم.
این دو ریشه که با t1 و t2 نشان می دهیم دارای حالت زیر هستند؛
حالت 1 – ریشه های t1 و t2 مثبت باشند ، در اینصورت خواهیم داشت:
t1 > 0 و t2 > 0 پس S > 0 و P > 0 چون به ازای هر t مثبت، 2 ریشه برای معادله درجه چهار داریم پس در مجموع 4 ریشه برای معادله درجه 4 داریم.
حالت 2 – هر دو ریشه منفی باشند.
t2 < 0 و t1 < 0 پس S < 0 و P > 0 چون به ازای t های مثبت می توانیم برای معادله درجه 4 ریشه داشته باشیم پس به ازای t های منفی معادله درجه 4 هیچ ریشه ای ندارد.
حالت 3 – یک ریشه مثبت و ریشه دیگری منفی باشد یعنی :
t2 < 0 و t1 > 0 در صورتی که یک ریشه مثبت و ریشه دیگر منفی باشد دو حالت مختلف پیش می‌آید. حالت اول در صورتی است که ریشه منفی بزرگتر باشد یعنی…..
-t2 > t1 اگر این حالت را در نظر بگیریم S < 0 و P < 0 اما چون یک ریشه مثبت t1 داریم پس معادله درجه چهار دارای 2 ریشه است.
حالت 4 – ریشه مثبت بزرگتر و ریشه منفی کوچتر باشد
t2 > 0 و t1 < 0 مجموع دو ریشه یا S در صورتی مثبت است که t2 > t1 که در این حالت S > 0 و P < 0 و چون یک ریشه مثبت داریم از رابطه x2 = t برای معادله درجه چهار 2 ریشه بدست می آید.
حالت 5 – t2 > 0 و t1 = 0 در این صورت S > 0 و P = 0 و به ازای t2 > 0 از معادله x2 = t2 ، دو ریشه برای معادله درجه 4 بدست می آید و به ازای t = 0 برای معادله درجه 4 یک ریشه با توجه به x2 = t1 بدست می آید. پس در کل 3 ریشه داریم.
حالت 6 – t2 < 0 و t1 = 0 در این صورت S < 0 و P = 0 و به ازای t2 که منفی است با توجه به x2 = t2 چون x2 همیشه مثبت است پس جوابی برای معادله درجه 4 نداریم. ولی به ازای t1=0 از رابطه x2 = t1 یک ریشه داریم. پس در کل 1 ریشه برای معادله درجه 4 داریم.
حالت 7 – ریشه‌ها قرینه هم باشند.
t1=-t2 بازهم یک ریشه مثبت و یک ریشه منفی. پس S=0 و P < 0 و به ازای ریشه مثبت از رابطه x2 = t نتیجه می گیریم که ریشه ها قرینه یکدیگر هستند. پس معادله درجه 4 ما 2 ریشه دارد ولی به ازای t منفی معادله درجه 4 هیچ ریشه ای ندارد.
حالت 8 – که دراین حالت Δ < 0 ما می دانیم که معادله درجه 2 هیچ ریشه ای ندارد پس هیچ t ای نداریم در نتیجه از معادله x2 = t هیچ x ای بدست نمی آید پس معادله درجه 4 هم منطقا هیچ ریشه ای نخواهد داشت.
حالت ویژه Δ = 0
t > 0 ← ما یک ریشه مثبت داریم پس از رابطه x2=t ریشه برای معادله درجه 4 دو ریشه خواهیم داشت.
t < 0 ← یک ریشه منفی داریم که مضاعف است. پس از x2 = t هیچ ریشه ای برای معادله درجه 4 نداریم.
t = 0 ← ما یک ریشه داریم که از x2 = t یک ریشه برای x بدست می آید که برابر صفر است. پس 1 ریشه برای معادله درجه 4 داریم.
نکته : معادله ax4+bx2+c=0 در دو حالت زیر یک ریشه مثبت و یک ریشه منفی دارد:
1- در معادله at2 + bt + c =0 ، باشد.
2- در معادله at2 + bt + c =0 ، Δ = 0 و t > 0 باشد.
مثال: در معادله x4 – 2x2 – 2 = 0 نشان دهید علامت ریشه ها چگونه است.
این معادله را اگر با تغییر متغیر به صورت t2 – 2t – 3 = 0 بنویسیم داریم که؛
این یعنی مجموع ضرایب آن منفی شده و این نشان میدهد که علامت ریشه ها مخالف هم هستند. پس یکی مثبت و یکی منفی است. به ازای ریشه مثبت اگر تساوی x2 = t را تشکیل دهیم به این نتیجه میرسیم که معادله درجه 4 دارای یک ریشه مثبت و یک ریشه منفی است.