حل معادله درجه ۴ با تغییر متغیر(تبدیل به معادله درجه ۲)

اگر یک معادله درجه ۴ بصورت ax^۴ + bx^۲ + c = 0 به ما بدهند که حل کنیم احتمالا در نگاه اول شوکه میشویم، که چگونه می توانیم این معادله درجه ۴ را حل کنیم، در حالی که ما تا به حال فقط معادله درجه ۲ را خوانده ایم. قطعا این جمله را می گوییم که ما معادله درجه ۳ را بطور کامل نمی شناسیم بعد چگونه از ما معادله درجه ۴ سئوال شده است !

اگر کمی با دقت به معادله نگاه کنیم، می بینیم این معادله درجه ۴ به این فرم شبیه معادله درجه ۲ است با این تفاوت که بجای x^۲  داریم x^۴ و به جای x داریم x^۲ پس با کمی تغییر می توانیم آن را به معادله درجه ۲ تبدیل کنیم. اما این کار را چگونه انجام دهیم؟ کافی است x^۲ = t بگیریم آنگاه بدیهی است که t^۲ = x^۴ و معادله بصورت at^۲ + bt + c = 0 در می آید. چه خوب حالا ما یک معادله درجه دوم داریم که حل آن را می دانیم.

فقط اینکه چون از تغییر متغیر x^۲ = t استفاده کرده ایم و t ای که به دست می آوریم از یک معادله درجه دوم است که می تواند منفی باشد یا می تواند مثبت باشد ولی ما فقط t مثبت را می پذیریم چون از تساوی x^۲ = t واضح است وقتی یک طرف تساوی x^۲ باشد نمی توان انتظار داشت t منفی باشد پس t فقط و فقط باید مثبت باشد تا آن را بپذیریم.

مثال؛ هر یک از معادلات زیر را حل کنید

  x^۴ – 2x^۲ – ۳ = 0 (الف                                          x^۴ – 4x^۲ + ۴ = 0 (ب    

      

حل معادله الف) :

معادله اول به فرم ax^۴ + bx^۲ + c = 0 است پس از تغییر متغیر t = x^۲ استفاده کرده و آن را را به معادله درجه دوم t^۲ – 2t – ۳ = 0 تبدیل می کنیم. برای بدست آوردن ریشه های این معادله می توانمی به جای استفاده از روش دلتا ، آن را به یک اتحاد تبدیل کنیم.

$$t^{\mathrm{۲}}-\mathrm{۲}t-\mathrm{۳}\to \left(t-\mathrm{۳}\right)\left(t+\mathrm{۱}\right)=\mathrm{۰}\to \left\{\begin{array}{c}t=\mathrm{۳}\to x^{\mathrm{۲}}=\pm \sqrt{\mathrm{۳}}\\ t=-\mathrm{۱}\to \end{array}\right.$$

پس معادله دارای ۲ ریشه می باشد.

حل معادله ب) :

معادله به فرم ax^۴ + bx^۲ + c = 0 است پس از تغییر متغیر t = x^۲ داریم که t^۲ – 4t – 4 = 0

با استفاده از اتحاد مربع دو جمله ای داریم که ؛

$${\left(t-\mathrm{۲}\right)}^{\mathrm{۲}}=\mathrm{۰}\to t=\mathrm{۲}\Rightarrow x^{\mathrm{۲}}=\mathrm{۲}\to x=\pm \sqrt{\mathrm{۲}}$$

پس معادله x^۴ – 4x^۲ + ۴ = 0 دارای دو ریشه است.

بحث در مورد ریشه های معادله ۴

وقتی معادله ax^۴ + bx^۲ + c = 0 را با تغییر متغیر به صورت at^۲ + bt + c = 0 می نویسیم. آنگاه به رابطه x^۲ = t ریشه های معادله درجه ۴ به مقدار t که ریشه معادله درجه ۲ است بستگی دارد پس حالات زیر را داریم؛

اگر در معادله درجه ۲ دلتا (Δ) را محاسبه کنیم و Δ>0 باشد پس ۲ ریشه داریم.

این دو ریشه که با t_۱ و t_۲ نشان می دهیم دارای حالت زیر هستند؛

حالت ۱ – ریشه های t_۱ و t_۲ مثبت باشند ، در اینصورت خواهیم داشت:
t_۱ > 0  و t_۲ > 0  پس S > 0  و P > 0 چون به ازای هر t مثبت، ۲ ریشه برای معادله درجه چهار داریم پس در مجموع ۴ ریشه برای معادله درجه ۴ داریم.

حالت ۲ – هر دو ریشه منفی باشند.
t_۲ < 0  و t_۱ < 0  پس S < 0  و P > 0 چون به ازای t های مثبت می توانیم برای معادله درجه ۴ ریشه داشته باشیم پس به ازای t های منفی معادله درجه ۴ هیچ ریشه ای ندارد.

حالت ۳ – یک ریشه مثبت و ریشه دیگری منفی باشد یعنی :

t_۲ < 0  و t_۱ > 0 در صورتی که یک ریشه مثبت و ریشه دیگر منفی باشد دو حالت مختلف پیش می‌آید. حالت اول در صورتی است که ریشه منفی بزرگتر باشد یعنی…..

 -t_۲ > t_۱ اگر این حالت را در نظر بگیریم S < 0  و P < 0 اما چون یک ریشه مثبت t_۱ داریم پس معادله درجه چهار دارای ۲ ریشه است.

حالت ۴ – ریشه مثبت بزرگتر و ریشه منفی کوچتر باشد
t_۲ > 0  و t_۱ < 0 مجموع دو ریشه یا S در صورتی مثبت است که t_۲ > t_۱ که در این حالت S > 0  و P < 0 و چون یک ریشه مثبت داریم از رابطه x^۲ = t برای معادله درجه چهار ۲ ریشه بدست می آید.

حالت ۵ – t_۲ > 0  و t_۱ = 0 در این صورت S > 0  و P = 0 و به ازای t_۲ > 0 از معادله x^۲ = t_۲ ، دو ریشه برای معادله درجه ۴ بدست می آید و به ازای t = 0 برای معادله درجه ۴ یک ریشه با توجه به x^۲ = t_۱ بدست می آید. پس در کل ۳ ریشه داریم.

حالت ۶ – t_۲ < 0  و t_۱ = 0 در این صورت S < 0  و P = 0 و به ازای t_۲ که منفی است با توجه به x^۲ = t_۲ چون x^۲ همیشه مثبت است پس جوابی برای معادله درجه ۴ نداریم. ولی به ازای t_۱=۰ از رابطه x^۲ = t_۱ یک ریشه داریم. پس در کل ۱ ریشه برای معادله درجه ۴ داریم.

حالت ۷ – ریشه‌ها قرینه هم باشند.
t_۱=-t_۲ بازهم یک ریشه مثبت و یک ریشه منفی. پس S=0 و P < 0  و به ازای ریشه مثبت از رابطه x^۲ = t نتیجه می گیریم که ریشه ها قرینه یکدیگر هستند. پس معادله درجه ۴ ما ۲ ریشه دارد ولی به ازای t منفی معادله درجه ۴ هیچ ریشه ای ندارد.

حالت ۸ – که دراین حالت Δ < 0 ما می دانیم که معادله درجه ۲ هیچ ریشه ای ندارد پس هیچ t ای نداریم در نتیجه از معادله x^۲ = t هیچ x ای بدست نمی آید پس معادله درجه ۴ هم منطقا هیچ ریشه ای نخواهد داشت.

حالت ویژه Δ = 0

t > 0 ← ما یک ریشه مثبت داریم پس از رابطه x^۲=t ریشه برای معادله درجه ۴ دو ریشه خواهیم داشت.

t < 0 ← یک ریشه منفی داریم که مضاعف است. پس از x^۲ = t  هیچ ریشه ای برای معادله درجه ۴ نداریم.

t = 0 ← ما یک ریشه داریم که از x^۲ = t یک ریشه برای x بدست می آید که برابر صفر است. پس ۱ ریشه برای معادله درجه ۴ داریم.

نکته : معادله ax^۴+bx^۲+c=0 در دو حالت زیر یک ریشه مثبت و یک ریشه منفی دارد:

۱- در معادله at^۲ + bt + c =0 ،  باشد.

۲- در معادله at^۲ + bt + c =0 ، Δ = 0 و t > 0 باشد.

مثال: در معادله x^۴ – 2x^۲ – ۲ = 0 نشان دهید علامت ریشه ها چگونه است.

این معادله را اگر با تغییر متغیر به صورت t^۲ – 2t – 3 = 0 بنویسیم داریم که؛

$$\begin{array}{l}{t}^{\mathrm{۲}}-\mathrm{۲}t-\mathrm{۳}=\mathrm{۰}\to (t+\mathrm{۱})(t-\mathrm{۳})=\mathrm{۰}\to \left\{\begin{array}{c}t+\mathrm{۱}=\mathrm{۰}\\ t-\mathrm{۳}=\mathrm{۰}\end{array}\right.\\ \to \left\{\begin{array}{c}t=-\mathrm{۱}\\ t=\mathrm{۳}\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{۲}}=-\mathrm{۱}\to x\in \varnothing \\ x^{\mathrm{۲}}=\mathrm{۳}\to x=\pm \sqrt{\mathrm{۳}}\end{array}\right.\right.\end{array}$$

این یعنی مجموع ضرایب آن منفی شده و این نشان میدهد که علامت ریشه ها مخالف هم هستند. پس یکی مثبت و یکی منفی است. به ازای ریشه مثبت اگر تساوی x^۲ = t را تشکیل دهیم به این نتیجه میرسیم که معادله درجه ۴ دارای یک ریشه مثبت و یک ریشه منفی است.