✍آموزش انتگرال جزء به جزء (روش سریع جدولی)

روش جزء به جزء چیست؟

روش انتگرال جزء به جزء به صورت u dx = uv – ∫ v du∫ می‌باشد. هر وقت از این فرمول برای محاسبه یک انتگرال استفاده کنیم به روش حاصل روش جزء به جزء می‌گوییم. حالا برای اینکه دقیق‌تر توضیح بدهیم باید بگوییم که روش جزء به جزء چه زمانی لازم است، استفاده شود؟! u را چه بگیریم و dv را چه بگیریم؟!

عبارتی که مشتق گرفتن راحتی دارد را u در نظر می‌گیریم و عباراتی که انتگرال گرفتن از آن راحت است را dv در نظر می‌گیریم. معمولا در انتگرال گیری از ضرب دوتابع از روش جزء به جزء استفاده می‌کنیم.

اما شاید این سوال پیش بیاید که آن توابع چه هستند که حاصلضرب آن‌ها نیاز به انتگرال جز به جزء دارد؟!

برای پاسخ به این سوال به جدول زیر دقت کنید زیرا انتگرال‌هایی که با روش جزء به جزء حل می‌شوند معمولا انتگرال‌هایی هستند که از ضرب توابع موجود در این جدول حاصل شده اند.

گروه 1	گروه 2	گروه 3
توابع لگاریتمی		توابع نمایی
توابع معکوس مثلثاتی	چند جمله ای	توابع سینوسی و کسینوسی
توابع معکوس هیپربولیک		مثلثاتی و هیپربولیک

نکته 1؛ در جدول بالا، گروه 1 و 3 معکوس هم هستند: توابع گروه 1 یعنی توابع لگاریتمی معکوس توابع نمایی هستند و ….

نکته 2؛ در گروه 2 چندجمله ای از هر درجه ای که باشد مهم نیست. ولی در گروه 1 و 3 متغییر تابع ها باید از درجه اول باشد. یعنی چی؟ یعنی در گروه 3، ما را میتوانیم داشته باشیم ولی را نمی توانیم داشته باشیم یه مثال ساده، ما در گروه 3 نمی توانیم داشته باشیم ولی می توانیم یا را داشته باشیم.

چه زمانی نیاز به استفاده از انتگرال جزء به جزء است ؟

در 4 مورد عمده ترین مواردی که جزء به جزء نیاز دارند را بیان می کنیم؛

⭐ در انتگرال گیری از گروه 1 به تنهایی ما نیاز به روش جزء به جزء داریم و در این حالت u را عضو گروه 1 در نظر می گیریم.
⭐ در انتگرال گیری از حاصلضرب گروه 1 در 2 جزء به جزء نیاز داریم و باز u را عضو گروه 1 در نظر می گیریم.
⭐ در محاسبه انتگرال از ضرب گروه 2 در گروه 3 یعنی چندجمله ای ضرب در نمایی یا سینوس یا کسینوس باید از جزء به جزء استفاده کنیم و u را باید عضو گروه 2 در نظر بگیریم.
⭐ از ضرب گروه 3 در خودش البته در ضرب 3 در 3 منظور ضرب تابع نمایی در تابع سینوس، و تابع نمایی در کسینوس است. مسلما از ضرب سینوس در کسینوس جزء به جزء استفاده نمی شود بلکه از انتگرال مثلثاتی استفاده می کنیم. استثنا در این مورد فرقی نمی کند که u را چه بگیریم. یعنی ضرب گروه 3 در 3 هم می توانیم u را نمایی در نظر بگیریم هم مثلثاتی.

نکته : طبق این چهار آیتم همیشه در ضرب این گروه ها u را از گروه با شماره کوچکتر انتخاب می کنیم و هرچه باقی ماند را dv در نظر می گیریم.

توضیح : این چهار مورد جزو عمده ترین مواردی هستند که ما در جزء به جزء نیاز داریم. اینها همه مواردی نیستند که به جزء به جزء نیاز دارند. اصلا این یک سئوال بی پاسخ است که بگوییم همه سئوالاتی که به جزء به جزء نیاز دارند رده بندی کنید. امکان دارد انتگرالی باشد که جزء به جزء حل شود ولی داخل این جدول نباشد! ولی هر انتگرالی که جزو این چهار آیتم بود حتما جزء به جزء نیاز دارد.

بررسی مثال های متنوع انتگرال جز به جز

مثال 1 : مطلوب است انتگرال زیر را محاسبه کنید.

∫xe^xdx = ?

مرحله اول : u=x , dv=e^x
مرحله دوم : du=1 , v=∫e^x dx = ex
مرحله سوم : استفاده از فرمول انتگرال جز به جز و محاسبه جواب نهایی

\begin{array}{l} Ex1 :  y = \int {xe}^{x} d x \\ 1) d v = e^{x}, u = x \\ 2) v = \int e^{x} = e^{x}, d u = (x^{'}) = 1 \\ 3) \int x e^{x} = \underset{u}{\underset{︸}{x}} \underset{v}{\underset{︸}{e^{x}}} - {\int \underset{v}{\underset{︸}{e}}}^{x} . \underset{d u}{\underset{︸}{1}} = x e^{x} - e^{x} + c = e^{x} (x - 1) + c \end{array}

.را بدست آورید ∫(x-1) sin(x) dx مثال 2 : حاصل انتگرال

\begin{array}{l} y = \int (x - 1) \sin x \\ 1) d v = \sin x, u = x - 1 \\ 2) v = - \cos x, d u = 1 \\ 3) \int (x - 1) \sin x = (x - 1) (- \cos x) - \int - \cos x \times 1 d x = - x \cos x + \cos x + \sin x \end{array}

مثال3 : مطلوب است محاسبه انتگرال

\int L n x d x

در این مثال انتگرال از تابع گروه 1 است.

گام اول: تشخیص u و dv
طبق جدول u=Lnx و هرچه باقی بماند dv است.
گام دوم: محاسبه du و v
چون در فرمول انتگرال جزء به جزء du و v را نیاز داریم پس باید آنها را حساب کنیم.
گام سوم : با توجه به گام اول و دوم فرمول انتگرال جزء به جزء را نوشته میشود؛

\begin{array}{l} E x 1 : y = \int L n x d x \\ 2) d u = (L n x)^{'} = \frac{1}{x}, v = \int d x = x \\ 3) \int L n x d x = \underset{v}{\underset{︸}{x}} \underset{u}{\underset{︸}{L n x}} - \int \underset{d u}{\underset{︸}{\frac{1}{x}}} \times \underset{v}{\underset{︸}{x}} d x = x L n x - x + c \end{array}

مثال 4 :

\int \frac{L n x}{x^{2}} d x = ?

گام اول: تشخیص u و dv
طبق جدول Lnx عضو گروه 1 است پس u=Lnx و هرچه باقی ماند dv است
گام دوم: محاسبه du و v
گام سوم: با توجه به گام اول و دوم فرمول انتگرال جزء به جزء رو می نویسیم

\begin{array}{l} y = \int \frac{L n x}{x^{2}} d x \\ d u = {(L n x)}^{'} = \frac{1}{x} \\ v = \int \frac{1}{x^{2}} d x = \int x^{- 2} d x = \frac{1}{- 2 + 1} x^{- 2 + 1} = - x^{- 1} = - \frac{1}{x} \\ \int \frac{L n x}{x^{2}} d x = - \underset{v}{\underset{︸}{\frac{1}{x}}} \cdot \underset{u}{\underset{︸}{L n x}} - \int \underset{v}{\underset{︸}{- \frac{1}{x}}} \cdot \underset{d u}{\underset{︸}{\frac{1}{x} d x}} = - \frac{L n x}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x = - \frac{L n x}{x} - \frac{1}{x} + c \end{array}

توضیح: همه ی جواب های انتگرال دارای ثابت انتگرال گیری c هستند چون انتگرال برعکس مشتق است و در انتگرال به دنبال تابع اولیه ی هستیم که بعد از مشتق گرفتن به تابع تحت انتگرال تبدیل شده باشد. چون امکان دارد همراه این تابع یک عدد یا ثابت c وجود داشته که براثر مشتق گرفتن صفر شده و در تابع تحت انتگرال دیده نشود این ثابت c را قرار می دهیم.

نکته 3 :

\int x^{n} L n x d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} (L n x - \frac{1}{n + 1}) + c

اگر مثال 2 رو با این نکته بخواهیم حل کنیم ابتدا شکل انتگرال رو به فرم انتگرال موجود در این نکته در می آوریم ، یعنی x² رو از مخرج کسر به صورت کسر می آوریم و در نتیجه توان اون از مثبت 2 به منفی دو تغییر می کند بنابراین طبق نکته بالا n=-2 خواهد بود.

\int \frac{L n x}{x^{2}} d x = \int x^{- 2} L n x d x \Rightarrow n = - 2

حال با جاگذاری n=-2 در فرمول نکته 3 مجددا پاسخ رو محاسبه و ساده می کنیم که به همان جواب می رسیم …

\begin{array}{l} \int x^{- 2} L n x d x = \frac{x^{- 2 + 1}}{- 2 + 1} (L n x - \frac{1}{- 2 + 1}) + c = \frac{x^{- 1}}{- 1} (L n x + 1) + c \\ = (- x^{- 1} L n x - x^{- 1}) + c = - \frac{1}{x} L n x - \frac{1}{x} + c \end{array}

مثال 5 : حاصل انتگرال را محاسبه کنید؛

I= \int \frac{x \tan^{- 1} x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x

گام اول : تشخیص u و dv
در اینجا تابع معکوس مثلثاتی داریم که عضو گروه 1 است پس آن را u در نظر می گیریم و مابقی رو dv در نظر می گیریم.

u = \tan^{- 1} x, d v = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}

گام دوم : محاسبه du و v :

\begin{array}{l} u = \tan^{- 1} x \to d u {(\tan^{- 1} x)}^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}} \to 1 + x^{2} = u \to d u = 2 x d x \\ \to \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d u}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \frac{1}{2} \times \frac{1}{- \frac{1}{2} + 1} u^{- \frac{1}{2} + 1} \to \\ = \frac{1}{2} \times 2 \times u^{\frac{1}{2}} = u^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1 + x^{2}} \to u = \sqrt{1 + x^{2}} \end{array}

برای محاسبه این انتگرال زیر رادیکال را برابر متغیر u می گیریم:
1/2 ایجاد شده در این انتگرال به این دلیل بود که ما du که نوشتیم شامل 2 بود ولی تابع تحت انتگرال 2 مداشت پس برای ایجاد 2 ما کسر را در نظر گرفتیم که برابر یک است و می توان گفت در تابع تحت انتگرال موجود بود و 2 صورت را برای ایجاد du استفاده کردیم و باقی مانده را به پشت انتگرال انتقال دادیم.

d v = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \to v = \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x

گام سوم : استفاده از فرمول انتگرال جزء به جزء :

نکته 4 : انتگرال از توان های فرد Sec(x) و Csc(x) هم با روش جز به جز حل می شوند.

مثال 6 : انتگرال زیر را محاسبه کنید.

∫sec³x dx = ?

گام اول: تشخیص u و dv

هر وقت با توان های فرد Sec(x) مواجه شدیم dv = Sec²x dx خواهد بود و هرچه باقی ماند را u در نظر میگیریم. پس در این انتگرال خواهیم داشت

u = Sec(x)
dv = Sec²(x) dx

گام دوم : محاسبه v و du

u = sec(x) \Rightarrow du = {(\sec x)}^{'} d x \Rightarrow du = \underset{{(\sec x)}^{'}}{\underset{︸}{sec x \times \tan x}} d x

\begin{array}{l} dv = Se c^{2} x dx = 1 + \tan^{2} x d x \Rightarrow v = \int 1 + \tan^{2} x d x = \tan x \\ \Rightarrow v = \tan x \end{array}

گام سوم : استفاده از فرمول انتگرال جزء به جزء؛

\begin{array}{l} I = \int \sec^{3} x d x = \int \underset{u}{\underset{︸}{\sec (x)}} \times \underset{d v}{\underset{︸}{\sec^{2} x}} d x = \sec (x) \tan x - \int \underset{d u}{\underset{︸}{\sec (x)}} \underset{\underset{d u}{\underset{︸}{\tan x}} \times \underset{v}{\underset{︸}{\tan x}}}{\underset{︸}{\tan^{2}}} x d x \\ = \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (\sec^{2} x - 1) d x \end{array}

توضیح: ما به جای tan²x نوشتیم Sec²x-1 زیرا این دو عبارت با هم برابر هستند و می توان بجای هم استفاده کرد و برای ادامه حل این سوال این کار لازم بود.

1 + \tan^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x} \to 1 + \tan^{2} x = \sec^{2} x \to \tan^{2} x = \sec^{2} x - 1

و اما در ادامه ساده سازی انتگرال خواهیم داشت :

I = \sec (x) \tan (x) - \int \sec^{3} x - \sec (x) d x = \sec (x) \tan (x) - \int \sec^{3} x d x + \int \sec x d x

در اینجا انتگرال صورت سئوال تولید شد یعنی منفی انتگرال sec³ x پس این انتگرال را به سمت چپ برده تا با انتگرال صورت سئوال جمع بزنیم.

\begin{array}{l} 2 I = \sec x + \tan x + \underset{L n |\sec x + t g x| + c}{\underset{︸}{\int \sec x d x}} \\ I = \frac{1}{2} (\sec x + \tan x + L n |\sec x + t g x| + c) \end{array}

انتگرال جز به جز تعمیم یافته ( روش سریع جدولی )

مطلوب است محاسبه

\int (x^{2} - 3 x + 1) e^{2 x} d x

در این مثال وقتی یک بار جزء به جزء می‌نویسیم عبارت تحت انتگرال حاصل از روش جزء به جزء بازهمضرب نمایی در چند جمله‌ای می‌شود دوباره جزء به جزء می‌خواهد. برخی مواقع ما بیش از یک بار جزء به جزئ می‌خواهیم اشکالی ندارد ولی چون هر بار باید انتخاب‌های جدیدی از u و dv داشته باشیم حل سئوال طولانی می‌شود پس در این تیپ سئوال روشی که پیشنهاد می‌شود روش جزء به جزء تعمیم یافته است معمولا این روش در مواقعی استفاده می‌شود که ما مطمئنیم بیش از یک بار جزء به جزء استفاده می‌کنیم مثلا ضرب یک تابع چندجمله‌ای در تابع نمایی یا ضرب یک تابع چندجمله‌ای در توابع سینوسی و کسینوسی Cos یاSin معمولا روش جزء به جزء تعمیم یافته می‌خواهند.

حال روش جزء به جزء تعمیم یافته چیست؟

در روشی که اسمش را روش جزء به جزء تعمیم یافته می‌نامیم دو ستون از توابع تشکیل می‌دهیم.

استثناء اگر کمی از سطر آخر در چندجمله‌ای‌ها یادش برود که انتگرال بگیرد اشکال ندارد چون همیشه در سطر آخر به انتگرال صفر می‌رسیم و انتگرال صفر هم برابر صفر است. البته چندجمله‌ای‌ها به صفر می‌رسند و غیرجمله‌ای‌ها به صفر نمی‌رسند. قطعا این روش را در سئوالاتی که یک بار جزء به جزء نیاز است هم می‌توانیم بنویسیم ولی ما این کار را نمی‌کنیم معمولا در مواردی که مطمئنیم بیش از یک بار جزء به جزء میگیریم از روش جزء به جزء تعمیم یافته استفاده می‌کنیم. ولی مواردی که یک جزء به جزء نیاز دارد همان u و dv را بنویسیم راحت‌تر است.

سئوال: سطر توقف را چگونه انتخاب کنیم؟

سطر توقف همیشه رسیدن به صفر نیست. چند جمله‌ای‌ها بالاخره به صفر می‌رسند و ما در صفر توقفگاه خود را انتخاب می‌کنیم. در مورد سایرین چیکار کنیم؟ وقتی روش بالا را به کار می‌بریم لزوما در سطری که به صفر نمی‌رسیم توقف نمی‌کنیم.

کی به صفر می‌رسیم و توقف می‌کنیم؟ در چندجمله‌ای ها. پس در سایر توابع چیکار می‌کنیم؟

در حالت کلی دو شرط برای توقف می‌شناسیم؛

1- هرگاه حاصلضرب اعضای سطری با روش جزء به جزء قابل انتگرال گرفتن باشد.

2- در ضرب اعضای آن سطر، ضریبی از حاصلضرب اعضای سطر اول دیده شود.

ما در روش جزء به جزء تعمیم یافته اگر در سطری توقف کنیم مگر قرار نیست که از حاصلضرب اعضای آن سطر انتگرال بگیریم پس اگر حاصلضرب اعضای آن سطر جزء به جزء نیاز داشتند معنی‌اش این است که ما توقف ممنوع، توقف کرده ایم. در مثال قبل فرض کنید که در سطر دوم توقف می‌کردیم در سطر دوم توقف ممنوع بود یا حق توقف داشتیم؟ ضرب آن‌ها انتگرال جزء به جزء نیاز داشت یا نه؟ جزء به جزء نیاز داشت پس می‌شود توقف ممنوع. می‌رسیم سطر بعدی… سوم آیا ضرب دو تابع انتگرال جزء به جزء می‌خواهد؟ خیر پس توقف اینجاست.

پس استثناء اگر کسی بخواهد از شرط اول توقف استفاده کند در چند جمله‌ای‌ها یک سطر بالاتر توقف می‌کند.

یکی مشتق و دیگر ستون انتگرال زیرستون مشتق تابعی را می‌نویسیم که می‌خواهیم u را در نظر بگیریم. یعنی در این مثال u را چند جمله‌ای در نظر می‌گیریم و در ستون مشتق می‌نویسیم و در زیرستون انتگرال تابعی را می‌نویسیم که باقی مانده یعنی هرچه که باقی ماند زیرستون انتگرال می‌نویسیم. سطر به سطر شروع می‌کنیم به مشتق گرفتن و روبروی آن شروع می‌کنیم به انتگرال گرفتن. خب این کار را تا کجا ادامه می‌دهیم؟ این کار را تا جایی ادامه می‌دهیم که به صفر برسیم مسلما در چندجمله‌ای‌ها بعد از یک تعداد مشتق گرفتن به صفر می‌رسیم. و هنگامی که به صفر می‌رسیم توقف می‌کنیم و به آن شرط توقف می‌گوییم. در مثال بعد هم یک شرط توقف دیگر بیان می‌کنیم. به محض اینکه توقف کردیم چه اتفاقی می‌افتد؟! هر سطر مشتق را در یک سطر پایین‌تر از انتگرال ضرب کنیم و هر کدام از این خطوط مورب در جدول نشانه یک بار جزء به جزء است.

انتگرال	مشتق	علامت هر عبارت
e^2x	x²-3x+1	+
1/2e^2x	2x-3	–
1/4e^2x	2	+
1/8e^2x	0	–

جواب نهایی انتگرال حاصل ضرب هر ردیف در ردیف بعدی خودش است ( با حفظ علامت های مثبت و منفی )

\begin{array}{l} \int (x^{2} - 3 x + 1) e^{2 x} d x = + (x^{2} - 3 x + 1) \times \frac{1}{2} e^{2 x} - (2 x - 3) \times \frac{1}{4} e^{2 x} \\ + 2 \times \frac{1}{8} e^{2 x} \end{array}

در پایان دانشجویان عزیز اگه منابع بیشتری برای مطالعه نیاز دارین می‌تونین از سایت ویکی پدیا اطلاعات بیشتری رو کسب کنید.