انتگرال جزء به جزء

✍آموزش انتگرال جزء به جزء (روش سریع جدولی)

روش جزء به جزء چیست؟

روش جز به جز انتگرال به صورت u dx = uv – ∫ v du∫ می باشد. هر وقت از این فرمول برای محاسبه یک انتگرال استفاده کنیم به روش حاصل روش جزء به جزء می گوییم. حالا برای اینکه دقیق تر توضیح بدهیم باید بگوییم که روش جزء به جزء چه زمانی لازم است، استفاده شود؟!! u را چه بگیریم و dv را چه بگیریم؟!!

عبارتی که مشتق گرفتن راحتی دارد را u در نظر می گیریم و عباراتی که انتگرال گرفتن از آن راحت است را dv در نظر می گیریم. معمولا در انتگرال گیری از ضرب دوتابع از روش جزء به جزء استفاده می کنیم.

اما شاید این سوال پیش بیاید که آن توابع چه هستند که حاصلضرب آنها نیاز به روش جز به جزء دارد؟!

برای پاسخ به این سوال به جدول زیر دقت کنید زیرا انتگرال هایی که با روش جزء به جزء حل میشوند معمولا انتگرال هایی هستند که از ضرب توابع موجود در این جدول حاصل شده اند.

گروه 1گروه 2گروه 3
توابع لگاریتمیتوابع نمایی
توابع معکوس مثلثاتیچند جمله ایتوابع سینوسی و کسینوسی
توابع معکوس هیپربولیکمثلثاتی و هیپربولیک

نکته 1؛ در این جدول، گروه 1 و 3 معکوس هم هستند: توابع گروه 1 یعنی توابع لگاریتمی معکوس توابع نمایی هستند و ….

نکته 2؛ در گروه 2 چندجمله ای از هر درجه ای که باشد مهم نیست. ولی در گروه 1 و 3 متغییر تابع ها باید از درجه اول باشد. یعنی چی؟ یعنی در گروه 3، ما  را میتوانیم داشته باشیم ولی  را نمی توانیم داشته باشیم یه مثال ساده، ما در گروه 3 نمی توانیم  داشته باشیم ولی می توانیم  یا  را داشته باشیم.

چه زمانی انتگرال جزء به جزء نیاز است استفاده شود؟

در  4 مورد عمده ترین مواردی که جزء به جزء نیاز دارند را بیان می کنیم؛
⭐ در انتگرال گیری از گروه 1 به تنهایی ما نیاز به روش جزء به جزء داریم و در این حالت u را عضو گروه 1 در نظر می گیریم.
⭐ در انتگرال گیری از حاصلضرب گروه 1 در 2 جزء به جزء نیاز داریم و باز u را عضو گروه 1 در نظر می گیریم.
⭐ در محاسبه انتگرال از ضرب گروه 2 در گروه 3 یعنی چندجمله ای ضرب در نمایی یا سینوس یا کسینوس باید از جزء به جزء استفاده کنیم و u را باید عضو گروه 2 در نظر بگیریم.
⭐ از ضرب گروه 3 در خودش البته در ضرب 3 در 3 منظور ضرب تابع نمایی در تابع سینوس، و تابع نمایی در کسینوس است. مسلما از ضرب سینوس در کسینوس جزء به جزء استفاده نمی شود بلکه از انتگرال مثلثاتی استفاده می کنیم. استثنا در این مورد فرقی نمی کند که u را چه بگیریم. یعنی ضرب گروه 3 در 3 هم می توانیم u را نمایی در نظر بگیریم هم مثلثاتی.

نکته : طبق این چهار آیتم همیشه در ضرب این گروه ها u  را از گروه با شماره کوچکتر انتخاب می کنیم و هرچه باقی ماند را dv در نظر می گیریم.

توضیح : این چهار مورد جزو عمده ترین مواردی هستند که ما در جزء به جزء نیاز داریم. اینها همه مواردی نیستند که به جزء به جزء نیاز دارند. اصلا این یک سئوال بی پاسخ است که بگوییم همه سئوالاتی که به جزء به جزء نیاز دارند رده بندی کنید. امکان دارد انتگرالی باشد که جزء به جزء حل شود ولی داخل این جدول نباشد! ولی هر انتگرالی که جزو این چهار آیتم بود حتما جزء به جزء نیاز دارد.

بررسی مثال های متنوع انتگرال جز به جز

مثال 1 : مطلوب است انتگرال زیر را محاسبه کنید.

∫xexdx = ?

مرحله اول : u=x , dv=ex
مرحله دوم : du=1 , v=∫ex dx = ex
مرحله سوم : استفاده از فرمول انتگرال جز به جز و محاسبه جواب نهایی

Ex1 :  y =  xe x dx 1)dv= e x ,u=x 2)v= e x = e x ,du=( x )=1 3) x e x = x u e x v e v x . 1 du =x e x e x +c= e x x1 +c

.را بدست آورید ∫(x-1) sin(x) dx مثال 2 : حاصل انتگرال

y =  x1 sinx 1)dv=sinx,u=x1 2)v=cosx,du=1 3) x1 sinx= x1 cosx cosx×1dx=xcosx+cosx+sinx

مثال3 : مطلوب است محاسبه انتگرال

Lnxdx

در این مثال انتگرال از تابع گروه 1 است.

گام اول: تشخیص u و dv
طبق جدول u=Lnx و هرچه باقی بماند dv است.
گام دوم: محاسبه du و v
چون در فرمول انتگرال جزء به جزء  du و v را نیاز داریم پس باید آنها را حساب کنیم.
گام سوم : با توجه به گام اول و دوم فرمول انتگرال جزء به جزء  را نوشته میشود؛

Ex1:y= Lnxdx 2)du=(Lnx ) = 3 x ,v= dx=x 3) Lnxdx= x v Lnx u 1 x du × x v dx=xLnxx+c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYfdmGievaebbnrfi fHhDYfgasaacH8srpw0Jbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk 0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9 Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakqaabeqaaiaadw eacaWG4bGaaGymaiaacQdacaWG5bGaeyypa0Zaa8qaaeaacaWGmbGa amOBaiaadIhacaaMc8UaamizaiaadIhaaSqabeqaniabgUIiYdaake aacaaIYaGaaiykaiaadsgacaWG1bGaeyypa0JaaiikaiaadYeacaWG UbGaamiEaiqacMcagaqbaiabg2da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaadI haaaGaaGPaVlaaykW7caaMc8UaaGPaVlaacYcacaaMc8UaaGPaVlaa ykW7caaMc8UaamODaiabg2da9maapeaabaGaamizaiaadIhacqGH9a qpcaWG4baaleqabeqdcqGHRiI8aaGcbaGaaG4maiaacMcadaWdbaqa aiaadYeacaWGUbGaamiEaiaadsgacaWG4bGaeyypa0ZaaGbaaeaaca WG4baalabaOpaaaaaapeqaaiaadAhaaOWdaiaawIJ=amaayaaabaGa amitaiaad6gacaWG4baal8qabaGaamyDaaGcpaGaayjo+dGaeyOeI0 Yaa8qaaeaadaagaaqaamaalaaabaGaaGymaaqaaiaadIhaaaaal8qa baGaamizaiaadwhaaOWdaiaawIJ=aaWcbeqab0Gaey4kIipaaSqabe qaniabgUIiYdGccqGHxdaTdaagaaqaaiaadIhaaSWdbeaacaWG2baa k8aacaGL44pacaWGKbGaamiEaiabg2da9iaadIhacaWGmbGaamOBai aadIhacqGHsislcaWG4bGaey4kaSIaam4yaaaaaa@9127@

مثال 4 :

Lnx x 2 dx=? MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYfdmGievaebbnrfi fHhDYfgasaacH8srpw0Jbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk 0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9 Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaadaWdbaqaam aalaaabaGaamitaiaad6gacaWG4baabaGaamiEamaaCaaaleqabaGa aGOmaaaaaaaabeqab0Gaey4kIipakiaadsgacaWG4bGaeyypa0Jaai 4paaaa@4081@


گام اول: تشخیص u و dv
طبق جدول Lnx عضو گروه 1 است پس u=Lnx و هرچه باقی ماند dv است
گام دوم: محاسبه du و v
گام سوم: با توجه به گام اول و دوم فرمول انتگرال جزء به جزء رو می نویسیم

y =  Lnx x 2 dx du= Lnx = 1 x v= 1 x 2 dx= x 2 dx= 1 2+1 x 2+1 = x 1 = 1 x Lnx x 2 dx= 1 x v · Lnx u 1 x v · 1 x dx du = Lnx x + 1 x 2 dx= Lnx x 1 x +c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYfdmGievaebbnrfi fHhDYfgasaacH8srpw0Jbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk 0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9 Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakqaabeqaaiaabM hacaqGGaGaaeypaiaabccadaWdbaqaamaalaaabaGaamitaiaad6ga caWG4baabaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaaabeqab0Gaey 4kIipakiaadsgacaWG4baabaGaamizaiaadwhacqGH9aqpdaqadaqa aiaadYeacaWGUbGaamiEaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGccW aGGBOmGikaaiabg2da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaadIhaaaaabaGa amODaiabg2da9maapeaabaWaaSaaaeaacaaIXaaabaGaamiEamaaCa aaleqabaGaaGOmaaaaaaaabeqab0Gaey4kIipakiaadsgacaWG4bGa eyypa0Zaa8qaaeaacaWG4bWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIYaaaaa qabeqaniabgUIiYdGccaWGKbGaamiEaiabg2da9maalaaabaGaaGym aaqaaiabgkHiTiaaikdacqGHRaWkcaaIXaaaaiaadIhadaahaaWcbe qaaiabgkHiTiaaikdacqGHRaWkcaaIXaaaaOGaeyypa0JaeyOeI0Ia amiEamaaCaaaleqabaGaeyOeI0IaaGymaaaakiabg2da9iabgkHiTm aalaaabaGaaGymaaqaaiaadIhaaaaabaWaa8qaaeaadaWcaaqaaiaa dYeacaWGUbGaamiEaaqaaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaa qabeqaniabgUIiYdGccaWGKbGaamiEaiabg2da9iabgkHiTmaayaaa baWaaSaaaeaacaaIXaaabaGaamiEaaaaaSqaaabaOpaaaaaapeGaam ODaaGcpaGaayjo+dGaeS4JPF2aaGbaaeaacaWGmbGaamOBaiaadIha aSWdbeaacaWG1baak8aacaGL44pacqGHsisldaWdbaqaamaayaaaba GaeyOeI0YaaSaaaeaacaaIXaaabaGaamiEaaaaaSWdbeaacaWG2baa k8aacaGL44paaSqabeqaniabgUIiYdGccqWIpM+zdaagaaqaamaala aabaGaaGymaaqaaiaadIhaaaGaamizaiaadIhaaSWdbeaacaWGKbGa amyDaaGcpaGaayjo+dGaeyypa0JaeyOeI0YaaSaaaeaacaWGmbGaam OBaiaadIhaaeaacaWG4baaaiabgUcaRmaapeaabaWaaSaaaeaacaaI XaaabaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaaabeqab0Gaey4kIi pakiaadsgacaWG4bGaeyypa0JaeyOeI0YaaSaaaeaacaWGmbGaamOB aiaadIhaaeaacaWG4baaaiabgkHiTmaalaaabaGaaGymaaqaaiaadI haaaGaey4kaSIaam4yaaaaaa@B44F@

توضیح: همه ی جواب های انتگرال دارای ثابت انتگرال گیری c هستند چون انتگرال برعکس مشتق است و در انتگرال به دنبال تابع اولیه ی هستیم که بعد از مشتق گرفتن به تابع تحت انتگرال تبدیل شده باشد. چون امکان دارد همراه این تابع یک عدد یا ثابت c وجود داشته که براثر مشتق گرفتن صفر شده و در تابع تحت انتگرال دیده نشود این ثابت c را قرار می دهیم.

نکته 3 :

x n Lnxdx= x n+1 n+1 Lnx 1 n+1 +c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYfdmGievaebbnrfi fHhDYfgasaacH8srpw0Jbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk 0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9 Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaadaWdbaqaai aadIhadaahaaWcbeqaaiaad6gaaaaabeqab0Gaey4kIipakiaadYea caWGUbGaamiEaiaadsgacaWG4bGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWG4bWaaW baaSqabeaacaWGUbGaey4kaSIaaGymaaaaaOqaaiaad6gacqGHRaWk caaIXaaaamaabmaabaGaamitaiaad6gacaWG4bGaeyOeI0YaaSaaae aacaaIXaaabaGaamOBaiabgUcaRiaaigdaaaaacaGLOaGaayzkaaGa ey4kaSIaam4yaaaa@50A5@

اگر مثال 2 رو با این نکته بخواهیم حل کنیم ابتدا شکل انتگرال رو به فرم انتگرال موجود در این نکته در می آوریم ، یعنی x2 رو از مخرج کسر به صورت کسر می آوریم و در نتیجه توان اون از مثبت 2 به منفی دو تغییر می کند بنابراین طبق نکته بالا n=-2 خواهد بود.

Lnx x 2 dx= x 2 Lnxdxn=2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYfdmGievaebbnrfi fHhDYfgasaacH8srpw0Jbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk 0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9 Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaadaWdbaqaam aalaaabaGaamitaiaad6gacaWG4baabaGaamiEamaaCaaaleqabaGa aGOmaaaaaaaabeqab0Gaey4kIipakiaadsgacaWG4bGaeyypa0Zaa8 qaaeaacaWG4bWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIYaaaaaqabeqaniab gUIiYdGccaWGmbGaamOBaiaadIhacaWGKbGaamiEaiabgkDiElaad6 gacqGH9aqpcqGHsislcaaIYaaaaa@4F31@

حال با جاگذاری n=-2 در فرمول نکته 3 مجددا پاسخ رو محاسبه و ساده می کنیم که به همان جواب می رسیم …

x 2 Lnxdx= x 2+1 2+1 Lnx 1 2+1 +c= x 1 1 Lnx+1 +c = x 1 Lnx x 1 +c= 1 x Lnx 1 x +c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYfdmGievaebbnrfi fHhDYfgasaacH8srpw0Jbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk 0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9 Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakqaabeqaamaape aabaGaamiEamaaCaaaleqabaGaeyOeI0IaaGOmaaaaaeqabeqdcqGH RiI8aOGaamitaiaad6gacaWG4bGaamizaiaadIhacqGH9aqpdaWcaa qaaiaadIhadaahaaWcbeqaaiabgkHiTiaaikdacqGHRaWkcaaIXaaa aaGcbaGaeyOeI0IaaGOmaiabgUcaRiaaigdaaaWaaeWaaeaacaWGmb GaamOBaiaadIhacqGHsisldaWcaaqaaiaaigdaaeaacqGHsislcaaI YaGaey4kaSIaaGymaaaaaiaawIcacaGLPaaacqGHRaWkcaWGJbGaey ypa0ZaaSaaaeaacaWG4bWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIXaaaaaGc baGaeyOeI0IaaGymaaaadaqadaqaaiaadYeacaWGUbGaamiEaiabgU caRiaaigdaaiaawIcacaGLPaaacqGHRaWkcaWGJbaabaGaeyypa0Za aeWaaeaacqGHsislcaWG4bWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIXaaaaO Gaamitaiaad6gacaWG4bGaeyOeI0IaamiEamaaCaaaleqabaGaeyOe I0IaaGymaaaaaOGaayjkaiaawMcaaiabgUcaRiaadogacqGH9aqpcq GHsisldaWcaaqaaiaaigdaaeaacaWG4baaaiaadYeacaWGUbGaamiE aiabgkHiTmaalaaabaGaaGymaaqaaiaadIhaaaGaey4kaSIaam4yaa aaaa@7A76@

مثال 5 : حاصل انتگرال را محاسبه کنید؛

I= x tan 1 x 1+ x 2 dx MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYfdmGievaebbnrfi fHhDYfgasaacH8srpw0Jbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk 0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9 Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaqGjbGaae ypamaapeaabaWaaSaaaeaacaWG4bGaciiDaiaacggacaGGUbWaaWba aSqabeaacqGHsislcaaIXaaaaOGaamiEaaqaamaakaaabaGaaGymai abgUcaRiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaabeaaaaaabeqab0Ga ey4kIipakiaadsgacaWG4baaaa@45DA@

گام اول : تشخیص u و dv
در اینجا  تابع معکوس مثلثاتی داریم که عضو گروه 1 است پس آن را u در نظر می گیریم و مابقی رو dv در نظر می گیریم.

u= tan 1 x,dv= x 1+ x 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYfdmGievaebbnrfi fHhDYfgasaacH8srpw0Jbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk 0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9 Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWG1bGaey ypa0JaciiDaiaacggacaGGUbWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIXaaa aOGaamiEaiaaykW7caaMc8UaaGPaVlaacYcacaaMc8UaaGPaVlaayk W7caWGKbGaamODaiabg2da9maalaaabaGaamiEaaqaamaakaaabaGa aGymaiabgUcaRiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaabeaaaaaaaa@4F4A@


گام دوم : محاسبه du و v  :

u= tan 1 xdu tan 1 x = 1 1+ x 2 1+ x 2 =udu=2xdx x 1+ x 2 dx= 1 2 du u = 1 2 u 1 2 du= 1 2 × 1 1 2 +1 u 1 2 +1 = 1 2 ×2× u 1 2 = u 1 2 = 1+ x 2 u= 1+ x 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYfdmGievaebbnrfi fHhDYfgasaacH8srpw0Jbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk 0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9 Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakqaabeqaaiaadw hacqGH9aqpciGG0bGaaiyyaiaac6gadaahaaWcbeqaaiabgkHiTiaa igdaaaGccaWG4bGaaGPaVlaaykW7cqGHsgIRcaWGKbGaamyDamaabm aabaGaciiDaiaacggacaGGUbWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIXaaa aOGaamiEaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGccWaGGBOmGikaai abg2da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaaigdacqGHRaWkcaWG4bWaaWba aSqabeaacaaIYaaaaaaakiabgkziUkaaigdacqGHRaWkcaWG4bWaaW baaSqabeaacaaIYaaaaOGaeyypa0JaamyDaiabgkziUkaadsgacaWG 1bGaeyypa0JaaGOmaiaadIhacaWGKbGaamiEaaqaaiabgkziUoaape aabaWaaSaaaeaacaWG4baabaWaaOaaaeaacaaIXaGaey4kaSIaamiE amaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeqaaaaaaeqabeqdcqGHRiI8aOGaam izaiaadIhacqGH9aqpdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaamaapeaa baWaaSaaaeaacaWGKbGaamyDaaqaamaakaaabaGaamyDaaWcbeaaaa aabeqab0Gaey4kIipakiabg2da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaaikda aaWaa8qaaeaacaWG1bWaaWbaaSqabeaacqGHsisldaWcaaqaaiaaig daaeaacaaIYaaaaaaaaeqabeqdcqGHRiI8aOGaamizaiaadwhacqGH 9aqpdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaiabgEna0oaalaaabaGaaG ymaaqaaiabgkHiTmaalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaGaey4kaSIa aGymaaaacaWG1bWaaWbaaSqabeaacqGHsisldaWcaaqaaiaaigdaae aacaaIYaaaaiabgUcaRiaaigdaaaGccqGHsgIRaeaacqGH9aqpdaWc aaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaiabgEna0kaaikdacqGHxdaTcaWG1b WaaWbaaSqabeaadaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaaaakiabg2da 9iaadwhadaahaaWcbeqaamaalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaaaaO Gaeyypa0ZaaOaaaeaacaaIXaGaey4kaSIaamiEamaaCaaaleqabaGa aGOmaaaaaeqaaOGaeyOKH4QaamyDaiabg2da9maakaaabaGaaGymai abgUcaRiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaabeaaaaaa@AB1E@

برای محاسبه این انتگرال زیر رادیکال را برابر متغیر u می گیریم:
1/2 ایجاد شده در این انتگرال به این دلیل بود که ما du که نوشتیم شامل 2 بود ولی تابع تحت انتگرال 2 مداشت پس برای ایجاد 2 ما کسر   را در نظر گرفتیم که برابر یک است و می توان گفت در تابع تحت انتگرال موجود بود و 2 صورت را برای ایجاد du استفاده کردیم و   باقی مانده را به پشت انتگرال انتقال دادیم.

dv= x 1+ x 2 v= x 1+ x 2 dx MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYfdmGievaebbnrfi fHhDYfgasaacH8srpw0Jbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk 0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9 Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWGKbGaam ODaiabg2da9maalaaabaGaamiEaaqaamaakaaabaGaaGymaiabgUca RiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaabeaaaaGccqGHsgIRcaWG2b Gaeyypa0Zaa8qaaeaadaWcaaqaaiaadIhaaeaadaGcaaqaaiaaigda cqGHRaWkcaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaqabaaaaaqabeqani abgUIiYdGccaWGKbGaamiEaaaa@4A23@

گام سوم : استفاده از فرمول انتگرال جزء به جزء :

نکته 4 : انتگرال از توان های فرد Sec(x) و Csc(x) هم با روش جز به جز  حل می شوند.

مثال 6 : انتگرال زیر را محاسبه کنید.

∫sec3x dx = ?

گام اول: تشخیص u و dv

هر وقت با توان های فرد Sec(x) مواجه شدیم dv = Sec2x dx خواهد بود و هرچه باقی ماند را u در نظر میگیریم. پس در این انتگرال خواهیم داشت

u = Sec(x)
dv = Sec2(x) dx

گام دوم : محاسبه v و du

u = sec(x)  du =  secx dxdu =  sec x ×tanx secx  dx MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYfdmGievaebbnrfi fHhDYfgasaacH8srpw0Jbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk 0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9 Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaqG1bGaae iiaiaab2dacaqGGaGaae4CaiaabwgacaqGJbGaaeikaiaabIhacaqG PaGaaeiiaiabgkDiElaabccacaqGKbGaaeyDaiaabccacaqG9aGaae iiaabaOpaaaaaapeWaaeWaaeaaciGGZbGaaiyzaiaacogacaWG4baa caGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacWaG3AOmGikaaOGaamizaiaadI hapaGaeyO0H4TaaeizaiaabwhacaqGGaGaaeypaiaabccadaagaaqa aiaabohacaqGLbGaae4yaiaabccacaqG4bGaaeiiaiabgEna0kGacs hacaGGHbGaaiOBaiaadIhaaSqaa8qadaqadaqaaiGacohacaGGLbGa ai4yaiaadIhaaiaawIcacaGLPaaadaahaaadbeqaaiadaERHYaIOaa aak8aacaGL44pacaqGGaGaamizaiaadIhaaaa@6F12@ dv = Se c 2 x dx=1+ tan 2 x dx  v =  1+ tan 2 x dx= tanx v=tanx MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaaqaaaaa aaaaWdbiaahsgacaWH2bGaaeiiaiabg2da9iaabccacaWHtbGaaCyz aiaahogapaWaaWbaaSqabeaapeGaaCOmaaaakiaadIhacaqGGaGaaC izaiaahIhacqGH9aqpcaaIXaGaey4kaSIaciiDaiaacggacaGGUbWa aWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaamiEaiaabccacaWGKbGaamiEaiabgk DiElaabccacaqGGaGaaeODaiaabccacaqG9aGaaeiiamaapeaabaGa aGymaiabgUcaRiGacshacaGGHbGaaiOBamaaCaaaleqabaGaaGOmaa aakiaadIhacaqGGaGaamizaiaadIhacqGH9aqpaSqabeqaniabgUIi YdGcciGG0bGaaiyyaiaac6gacaWG4baabaGaeyO0H4TaamODaiabg2 da9iGacshacaGGHbGaaiOBaiaadIhaaaaa@6A22@

گام سوم : استفاده از فرمول انتگرال جزء به جزء؛

I= sec 3 xdx= sec x u × sec 2 x dv dx=sec x tanx sec x du tan 2 tanx du × tanx v xdx =sec x tan x sec x sec 2 x1 dx MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYfdmGievaebbnrfi fHhDYfgasaacH8srpw0Jbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk 0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9 Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakqaabeqaaiaadM eacqGH9aqpdaWdbaqaaiGacohacaGGLbGaai4yamaaCaaaleqabaGa aG4maaaaaeqabeqdcqGHRiI8aOGaamiEaiaadsgacaWG4bGaeyypa0 Zaa8qaaeaadaagaaqaaiGacohacaGGLbGaai4yamaabmaabaGaamiE aaGaayjkaiaawMcaaaWcqaa6daaaaaWdbeaacaWG1baak8aacaGL44 paaSqabeqaniabgUIiYdGccqGHxdaTdaagaaqaaiGacohacaGGLbGa ai4yamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaadIhaaSWdbeaacaWGKbGaam ODaaGcpaGaayjo+dGaamizaiaadIhacqGH9aqpciGGZbGaaiyzaiaa cogadaqadaqaaiaadIhaaiaawIcacaGLPaaaciGG0bGaaiyyaiaac6 gacaWG4bGaeyOeI0Yaa8qaaeaadaagaaqaaiGacohacaGGLbGaai4y amaabmaabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaaWcpeqaaiaadsgacaWG1b aak8aacaGL44padaagaaqaaiGacshacaGGHbGaaiOBamaaCaaaleqa baGaaGOmaaaaa8qabaWaaGbaaeaaciGG0bGaaiyyaiaac6gacaWG4b aameaacaWGKbGaamyDaaWccaGL44pacqGHxdaTdaagaaqaaiGacsha caGGHbGaaiOBaiaadIhaaWqaaiaadAhaaSGaayjo+daak8aacaGL44 paaSqabeqaniabgUIiYdGccaWG4bGaaGPaVlaadsgacaWG4baabaGa eyypa0Jaci4CaiaacwgacaGGJbWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaay zkaaGaciiDaiaacggacaGGUbWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzk aaGaeyOeI0Yaa8qaaeaaciGGZbGaaiyzaiaacogadaqadaqaaiaadI haaiaawIcacaGLPaaaaSqabeqaniabgUIiYdGcdaqadaqaaiGacoha caGGLbGaai4yamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaadIhacqGHsislca aIXaaacaGLOaGaayzkaaGaamizaiaadIhaaaaa@A8A7@

توضیح: ما به جای tan2x  نوشتیم  Sec2x-1 زیرا این دو عبارت با هم برابر هستند و می توان بجای هم استفاده کرد و برای ادامه حل این سوال این کار لازم بود.

1+ tan 2 x= 1 cos 2 x 1+ tan 2 x= sec 2 x tan 2 x= sec 2 x1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYfdmGievaebbnrfi fHhDYfgasaacH8srpw0Jbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk 0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9 Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaaIXaGaey 4kaSIaciiDaiaacggacaGGUbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaamiE aiabg2da9maalaaabaGaaGymaaqaaiGacogacaGGVbGaai4CamaaCa aaleqabaGaaGOmaaaakiaadIhaaaGaeyOKH4QaaGymaiabgUcaRiGa cshacaGGHbGaaiOBamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaadIhacqGH9a qpciGGZbGaaiyzaiaacogadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWG4bGa eyOKH4QaciiDaiaacggacaGGUbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaam iEaiabg2da9iGacohacaGGLbGaai4yamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaa kiaadIhacqGHsislcaaIXaaaaa@5F32@

و اما در ادامه ساده سازی انتگرال خواهیم داشت :

I=sec x tan x sec 3 xsec x dx=sec x tan x sec 3 xdx+ secxdx MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYfdmGievaebbnrfi fHhDYfgasaacH8srpw0Jbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk 0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9 Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWGjbGaey ypa0Jaci4CaiaacwgacaGGJbWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzk aaGaciiDaiaacggacaGGUbWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzkaa GaeyOeI0Yaa8qaaeaaciGGZbGaaiyzaiaacogadaahaaWcbeqaaiaa iodaaaaabeqab0Gaey4kIipakiaadIhacqGHsislciGGZbGaaiyzai aacogadaqadaqaaiaadIhaaiaawIcacaGLPaaacaWGKbGaamiEaiab g2da9iGacohacaGGLbGaai4yamaabmaabaGaamiEaaGaayjkaiaawM caaiGacshacaGGHbGaaiOBamaabmaabaGaamiEaaGaayjkaiaawMca aiabgkHiTmaapeaabaGaci4CaiaacwgacaGGJbWaaWbaaSqabeaaca aIZaaaaaqabeqaniabgUIiYdGccaWG4bGaamizaiaadIhacqGHRaWk daWdbaqaaiGacohacaGGLbGaai4yaiaadIhacaWGKbGaamiEaaWcbe qab0Gaey4kIipaaaa@7006@

در اینجا انتگرال صورت سئوال تولید شد یعنی منفی انتگرال sec3 x پس این انتگرال را به سمت چپ برده تا با انتگرال صورت سئوال جمع بزنیم.

2I=secx+tanx+ secxdx Ln secx+ tgx +c I= 1 2 secx+tanx+Ln secx+ tgx +c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYfdmGievaebbnrfi fHhDYfgasaacH8srpw0Jbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk 0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9 Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakqaabeqaaiaaik dacaWGjbGaeyypa0Jaci4CaiaacwgacaGGJbGaamiEaiabgUcaRiGa cshacaGGHbGaaiOBaiaadIhacqGHRaWkdaagaaqaamaapeaabaGaci 4CaiaacwgacaGGJbGaamiEaiaadsgacaWG4baaleqabeqdcqGHRiI8 aaWcbaGaamitaiaad6gadaabbaqaaiGacohacaGGLbGaai4yaiaadI hacqGHRaWkdaabcaqaaiaadshacaWGNbGaamiEaaGaayjcSdGaey4k aSIaam4yaaGaay5bSdaakiaawIJ=aaqaaiaadMeacqGH9aqpdaWcaa qaaiaaigdaaeaacaaIYaaaamaabmaabaGaci4CaiaacwgacaGGJbGa amiEaiabgUcaRiGacshacaGGHbGaaiOBaiaadIhacqGHRaWkcaWGmb GaamOBamaaeeaabaGaci4CaiaacwgacaGGJbGaamiEaiabgUcaRmaa eiaabaGaamiDaiaadEgacaWG4baacaGLiWoacqGHRaWkcaWGJbaaca GLhWoaaiaawIcacaGLPaaaaaaa@7677@

انتگرال جز به جز تعمیم یافته ( روش سریع جدولی )

مطلوب است محاسبه

x 2 3x+1 e 2x dx MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYfdmGievaebbnrfi fHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk 0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9 Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaadaWdbaqaam aabmaabaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaioda caWG4bGaey4kaSIaaGymaaGaayjkaiaawMcaaaWcbeqab0Gaey4kIi pakiaadwgadaahaaWcbeqaaiaaikdacaWG4baaaOGaamizaiaadIha aaa@4442@

در این مثال وقتی یک بار جزء به جزء می نویسیم عبارت تحت انتگرال حاصل از روش جزء به جزء بازهمضرب نمایی در چند جمله ای می شود دوباره جزء به جزء می خواهد. برخی مواقع ما بیش از یک بار جزء به جزئ می خواهیم اشکالی ندارد ولی چون هر بار باید انتخاب های جدیدی از u و dv داشته باشیم حل سئوال طولانی می شود پس در این تیپ سئوال روشی که پیشنهاد می شود روش جزء به جزء تعمیم یافته است معمولا این روش در مواقعی استفاده می شود که ما مطمئنیم بیش از یک بار جزء به جزء استفاده می کنیم مثلا ضرب یک تابع چندجمله ای در تابع نمایی یا ضرب یک تابع  چندجمله ای در توابع سینوسی و کسینوسی  Cos یاSin   معمولا روش جزء به جزء تعمیم یافته می خواهند.

حال روش جزء به جزء تعمیم یافته چیست ؟

در روشی که اسمش را روش جزء به جزء تعمیم یافته می نامیم دو ستون از توابع تشکیل می دهیم.

استثناء اگر کمی از سطر آخر در چندجمله ای ها یادش برود که انتگرال بگیرد اشکال ندارد چون همیشه در سطر آخر به انتگرال صفر می رسیم و انتگرال صفر هم برابر صفر است. البته چندجمله ای ها به صفر می رسند و غیرجمله ای ها به صفر نمی رسند. قطعا این روش را در سئوالاتی که یک بار جزء به جزء نیاز است هم می توانیم بنویسیم ولی ما این کار را نمی کنیم معمولا در مواردی که مطمئنیم بیش از یک بار جزء به جزء میگیریم از روش جزء به جزء تعمیم یافته استفاده می کنیم. ولی مواردی که یک جزء به جزء نیاز دارد همان u و dv را بنویسیم راحت تر است.

سئوال: سطر توقف را چگونه انتخاب کنیم؟

سطر توقف همیشه رسیدن به صفر نیست. چند جمله ای ها بالاخره به صفر می رسند و ما در صفر توقفگاه خود را انتخاب می کنیم. در مورد سایرین چیکار کنیم؟ وقتی روش بالا را به کار می بریم لزوما در سطری که به صفر نمی رسیم توقف نمی کنیم.

کی به صفر می رسیم و توقف می کنیم؟ در چندجمله ای ها. پس در سایر توابع چیکار می کنیم؟

در حالت کلی دو شرط برای توقف می شناسیم ؛

1- هرگاه حاصلضرب اعضای سطری با روش جزء به جزء قابل انتگرال گرفتن باشد.

2- در ضرب اعضای آن سطر، ضریبی از حاصلضرب اعضای سطر اول دیده شود.

ما در روش جزء به جزء تعمیم یافته اگر در سطری توقف کنیم مگر قرار نیست که از حاصلضرب اعضای آن سطر انتگرال بگیریم پس اگر حاصلضرب اعضای آن سطر جزء به جزء نیاز داشتند معنی اش این است که ما توقف ممنوع، توقف کرده ایم. در مثال قبل فرض کنید که در سطر دوم توقف می کردیم در سطر دوم توقف ممنوع بود یا حق توقف داشتیم؟ ضرب آنها انتگرال جزء به جزء نیاز داشت یا نه؟ جزء به جزء نیاز داشت پس می شود توقف ممنوع. می رسیم سطر بعدی… سوم آیا ضرب دو تابع انتگرال جزء به جزء می خواهد؟ خیر پس توقف اینجاست.

پس استثناء اگر کسی بخواهد از شرط اول توقف استفاده کند در چند جمله ای ها یک سطر بالاتر توقف می کند.

یکی مشتق و دیگر ستون انتگرال زیرستون مشتق تابعی را می نویسیم که می خواهیم u را در نظر بگیریم. یعنی در این مثال u را چند جمله ای در نظر می گیریم و در ستون مشتق می نویسیم و در زیرستون انتگرال تابعی را می نویسیم که باقی مانده یعنی هرچه که باقی ماند زیرستون انتگرال می نویسیم. سطر به سطر شروع می کنیم به مشتق گرفتن و روبروی آن شروع می کنیم به انتگرال گرفتن . خب این کار را تا کجا ادامه می دهیم؟ این کار را تا جایی ادامه می دهیم که به صفر برسیم مسلما در چندجمله ای ها بعد از یک تعداد مشتق گرفتن به صفر می رسیم. و هنگامی که به صفر می رسیم توقف می کنیم و به آن شرط توقف می گوییم. در مثال بعد هم یک شرط توقف دیگر بیان می کنیم. به محض اینکه توقف کردیم چه اتفاقی می افتد؟! هر سطر مشتق را در یک سطر پایین تر از انتگرال ضرب کنیم و هر کدام از این خطوط مورب در جدول نشانه یک بار جزء به جزء است .

انتگرالمشتقعلامت هر عبارت
e2xx2-3x+1+
1/2e2x2x-3
1/4e2x2+
1/8e2x0

جواب نهایی انتگرال حاصل ضرب هر ردیف در ردیف بعدی خودش است ( با حفظ علامت های مثبت و منفی )

x 2 3x+1 e 2x dx=+( x 2 3x+1)× 1 2 e 2x (2x3)× 1 4 e 2x +2× 1 8 e 2x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYfdmGievaebbnrfi fHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk 0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9 Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakqaabeqaamaape aabaWaaeWaaeaacaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaeyOeI0Ia aG4maiaadIhacqGHRaWkcaaIXaaacaGLOaGaayzkaaaaleqabeqdcq GHRiI8aOGaamyzamaaCaaaleqabaGaaGOmaiaadIhaaaGccaWGKbGa amiEaiabg2da9iabgUcaRiaacIcaqaaaaaaaaaWdbiaadIhapaWaaW baaSqabeaapeGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaiodacaWG4bGaey4kaSIa aGymaiaacMcacqGHxdaTdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaiaadw gapaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaiaadIhaaaGcpaGaeyOeI0Iaaiik a8qacaaIYaGaamiEaiabgkHiTiaaiodacaGGPaGaey41aq7aaSaaae aacaaIXaaabaGaaGinaaaacaWGLbWdamaaCaaaleqabaWdbiaaikda caWG4baaaaGcpaqaaiabgUcaRiaaikdacqGHxdaTpeWaaSaaaeaaca aIXaaabaGaaGioaaaacaWGLbWdamaaCaaaleqabaWdbiaaikdacaWG 4baaaaaaaa@6945@

مقالات مرتبط

پاسخ

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *