چگونه مجموع جملات دنباله های حسابی و هندسی را بدست آوریم؟

سال گذشته و در کتاب ریاضی دهم با دنباله‌ی حسابی آشنا شدیم.

تعریف دنباله حسابی

دنباله‌ای است هر جمله آن ( غیر از جمله اول ) نسبت به جمله قبلی با عدد ثابتی جمع شده است ، به این عدد ثابت قدر نسبت گفته می‌گوییم. اگر جمله اول برابر a و قدر نسبت برابر d باشد در این صورت جملات دنباله به صورت زیر خواهند بود

a , a+d , a+2d , a+3d , a+4d , …….. ,a+(n-1)d

مجموع جملات دنباله های حسابی

مجموع n جمله‌ی اول یک دنباله‌ی حسابی را از رابطه‌ی زیر به دست می‌آید:

$$Sn=\frac{n}{\mathrm{۲}}(\mathrm{۲}{a}_{\mathrm{۱}}+(n-\mathrm{۱})d)$$

از رابطه بالا زمانی استفاده می‌کنیم که جمله اول و قدر نسبت را داشته باشیم ، اما در بعضی از سوالات فقط جمله اول و جمله آخر یک دنباله حسابی را داریم در این صورت برای بدست آوردن مجموع دنباله حسابی از رابطه زیر استفاده می‌کنیم ، که در این رابطه تعداد جملات را با n و مجموع جملات را با S_n نمایش می‌دهیم.

$$Sn=\frac{n}{\mathrm{۲}}(a_{\mathrm{۱}}+a_n)$$

تذکر : در رابطه های بالا

• n تعداد جملات دنباله حسابی است.
• d قدرنسبت دنباله حسابی است.
• a_۱ جمله اول دنباله حسابی است.
• a_n جمله آخر دنباله حسابی است.

تعریف دنباله‌ی هندسی

در این دنباله هر جمله ( به غیر از جمله اول ) از ضرب یک عدد ثابت در جمله‌ی قبلی بدست آمده است. به این عدد ثابت قدر نسبت دنباله‌ی هندسی می‌گوییم. اگر جمله‌ی اول a_۱ و قدرنسبت دنباله q باشد ، جملات دنباله به صورت زیر خواهند بود.

a , aq , aq^۲ , aq^۳ , aq^۴ , aq^۵ , …… , aqⁿ

مجموع جملات دنباله‌های هندسی

مجموع جملات دنباله‌های هندسی را با S_n نمایش می‌دهم و از رابطه زیر بدست می‌آوریم.

$$Sn=\frac{a(\mathrm{۱}-q^n)}{\mathrm{۱}-q}$$