فرمول رابطه چگالی با تغییرات دما ρ2=ρ1/(1+β ΔT)

بر اثر تغییر دما جرم اجسام ثابت می ماند ولی حجم آنها تغییر می کند بنابراین طبق فرمول ρ = m/V می توان نتیجه گرفت که با تغییرات دما چگالی اجسام نیز تغییر خواهد کرد. مثال معروفی که برای این قسمت میشه زد سر رفتن شیر موقع جوشیدن هست ، در واقع اتفاقی که اینجا رخ میده این هست که با افزایش حرارت حجم شیر افزایش پیدا می کنه ولی جرم اون ثابت میمونه پس در حقیقت مخرج کسر بزرگ شده ولی صورت کسر ثابت مونده در نتیجه چگالی کاهش پیدا کرده است. فرمول رابطه تغییرات دما با تغییرات چگالی در فصل چهارم فیزیک دهم به دو صورت تقریبی و دقیق آورده شده است که هر دو فرمول رو با هم بررسی می کنیم.

فرمول تقریبی تغییرات چگالی با دما چگونه اثبات می شود؟

همونطوری که قبلا اشاره شد ، فرمول دقیق تغییرات چگالی با دما به صورت ρ₂=ρ₁/(1+β ΔT) هست ، برای اینکه فرمول تقریبی تغییرات چگالی با دما رو بدست بیاریم کافیه که تو این فرمول صورت و مخرج کسر رو ، در مزدوج مخرج ضرب کنیم و کمی ساده سازی انجام بدیم.

$$\begin{array}{l}{\rho }_{{}_{\mathrm{<mn>2</mn>}}}=\frac{{\rho }_{{}_{\mathrm{<mn>1</mn>}}}}{1+\beta \Delta \text{T}}\times \frac{1-\beta \Delta \text{T}}{1-\beta \Delta \text{T}}\to \\ {\rho }_{{}_{\mathrm{<mn>2</mn>}}}=\frac{{\rho }_{{}_{\mathrm{<mn>1</mn>}}}(1-\beta \Delta \text{T)}}{1-{\bcancel{\underset{0}{{\displaystyle \beta }}}}^2\Delta {\text{T}}^2}={\rho }_{{}_{\mathrm{<mn>1</mn>}}}(1-\beta \Delta \text{T)}\end{array}$$

فرمول تغییر چگالی با دما بر حسب حجم جسم چگونه اثبات می شود؟

برای اینکه فرمول تغییر دما بر حسب چگالی رو از روی فرمول حجم بدست بیاوریم ، کافی هست درون فرمول حجم ثانویه بر حسب حجم اولیه به جای حجم ، از رابطه v=m/ρ استفاده کنیم.

$$v_2=v_1(1+B\Delta T)\stackrel{v=\frac{m}{\rho }}{\to }\frac{\cancel{m}}{{\rho }_2}=\frac{\cancel{m}}{{\rho }_1}(1+B\Delta T)$$

حالا تو مرحله بعدی کافی هست که در رابطه بالا جای ρ₁ و ρ₂ رو با هم عوض کنیم. که فرمول بالا به صورت زیر در میاد.

$$\begin{array}{l}\frac{1}{{\rho }_2}=\frac{1}{{\rho }_1}(1+B\Delta T)\Rightarrow {\rho }_1={\rho }_2(1+B\Delta T)\\ \Rightarrow {\rho }_2=\frac{{\rho }_1}{1+B\Delta T}\end{array}$$